Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 236
Precisamos, então, determinar na classe de todos os polinômios de grau menor ou igual a m aquele
que minimize:
Q = f − Pm 2 =
b
a
(f(x) − Pm(x)) 2 dx .
Sabemos, entretanto, que os polinômios de grau ≤ m constituem um espaço vetorial Km(x), do qual
{1, x, x 2 , . . . , x m } é uma base. E mais: Km(x), para x ∈ [a, b], é um sub-espaço de C[a, b].
Se nos lembrarmos de projeção ortogonal de um vetor sobre um sub-espaço, (Capítulo 1), o nosso
problema está resolvido, pois, a distância de f a Pm será mínima quando Pm for a projeção ortogonal de
f sobre Km(x).
Resumindo: para aproximar f ∈ C[a, b] por um polinômio Pm(x) de grau no máximo m, basta
determinar a projeção ortogonal de f sobre Km(x), o qual é gerado por {1, x, x 2 , . . . , x m }.
Portanto os coeficientes a0, a1, . . . , am, de Pm(x), são dados pelo sistema normal, isto é:
⎛
⎜
⎝
(1, 1) (x, 1) . . . (xm (1, x) (x, x) . . .
, 1)
(xm . . . . . .
, x)
(1, xm ) (x, xm ) . . . (xm , xm ⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
a0
a1
.
.
⎞
⎟
⎠
)
=
⎛
⎜
⎝
(f, 1)
(f, x)
.
(f, xm ⎞
⎟
⎠
)
.
A menos que seja sugerido o produto escalar a ser utilizado, usa-se o produto escalar usual de C[a, b],
isto é, para f, g ∈ C[a, b]:
(f, g) =
b
a
am
f(x) g(x) dx .
Exemplo 8.1 Seja f(x) = x 4 − 5 x, x ∈ [−1, 1]. Aproximar f(x) por um polinômio do 2 o grau, usando
o método dos mínimos quadrados.
Solução: Temos que: f(x) ∈ C[−1, 1], e para x ∈ [−1, 1], K2(x) é um sub-espaço de C[−1, 1]. Queremos
então:
f(x) P2(x) = a0 + a1x + a2x 2 ,
onde P2(x) deve ser a projeção ortogonal de f sobre K2(x). Assim a base para K2(x) é {1, x, x2 Devemos, então, resolver o sistema:
}.
⎛
(1, 1)
⎝
(x, 1) (x2 (1, x)
2 1, x
(x, x)
, 1)
2 x , x x, x2 x2 , x2 ⎞ ⎛
a0
⎠ ⎝ a1
⎞
⎠ =
⎛
(f, 1)
⎝
(f, x)
2 f, x
⎞
⎠ .
Usando o produto escalar usual de C[−1, 1], segue que:
a2