Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 433
o último termo da expressão acima representa o erro da aproximação de y(x + h) pelo polinômio (na
variável h) de grau n.
Se n = 1 em (13.9) teremos a fórmula progressiva que utiliza a diferença progressiva (∆y(x)) e seu
erro, ou seja:
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x)
h
= 1 h
∆y(x) −
h 2 y′′ (ξ) .
− h
2 y′′ (ξ)
De modo semelhante, tomando −h em (13.9), ainda com n = 1, obtemos a fórmula regressiva que
utiliza a diferença regressiva (∇y(x)) e seu erro, ou seja:
e
y ′ (x) =
y(x) − y(x − h)
h
= 1 h
∇y(x) +
h 2 y′′ (ξ) .
+ h
2 y′′ (ξ)
Fazendo agora, n = 2 em (13.9) com h e −h, respectivamente, temos
y(x + h) = y(x) + hy ′ (x) + h2
2! y′′ (x) + h3
3! y′′′ (ξ2)
y(x − h) = y(x) − hy ′ (x) + h2
2! y′′ (x) − h3
3! y′′′ (ξ1) .
Subtraindo a última expressão da penúltima obtemos a fórmula centrada que utiliza a diferença central
(δhy(x)) e seu erro, ou seja:
onde ξ ∈ (x − h, x + h) .
y ′ (x) =
y(x + h) − y(x − h)
2h
= 1
2h δhy(x) + h2
3! y′′′ (ξ).
+ h2
3! y′′′ (ξ)
Quando se fizer necessário deixar claro o passo h para o qual um operador está sendo utilizado escreveremos:
δh, δ 2 h , ∆h, ∇h, caso contrário o indice h será omitido.
Erro e Ordem de Aproximação de Uma Fórmula de Diferença
Seja F(x) uma fórmula de diferença para aproximação da derivada de ordem q de uma função y(x)
com erro E(x). Então:
y (q) (x) = F(x) + E(x).
Dizemos que a fórmula F(x) é de ordem p se E(x) = hpR(x), onde R(x) não depende de h. Nesse caso
usamos a notação E(x) = O(hp R(x)
). Essa notação significa que limh→0 hp é uma constante finita.