Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 140
4.8 Mal Condicionamento
Como vimos, para resolver sistemas lineares dois aspectos devem ser considerados:
a) se a solução existe ou não.
b) achar um modo eficiente para resolver as equações.
Mas existe ainda um aspecto a ser considerado:
c) se a solução das equações é muito sensível a pequenas mudanças nos coeficientes.
Este fenômeno é chamado Mal Condicionamento, e está relacionado ao fato de que a matriz dos
coeficientes nas equações lineares está próxima de ser singular.
Na seção anterior dissemos que se o vetor resíduo for próximo do vetor nulo então a solução obtida
está razoavelmente precisa, e isto é verdade para sistemas bem condicionados. Entretanto em alguns
casos, como mostrado no exemplo a seguir, isto está longe de ser verdadeiro.
Exemplo 4.10 - Considere o sistema linear:
1.2969 0.8648
0.2161 0.1441
e suponha dada a solução aproximada:
Calcule o vetor resíduo.
¯x =
x1
x2
0.9911
−0.4870
=
.
0.8642
0.1440
Solução: Calculando o vetor resíduo correspondente a ¯x, através de (4.14), obtemos:
r =
−8 10
−10−8
e portanto parece razoável supor que o erro em ¯x é muito pequeno. Entretanto, pode ser verificado por
substituição que a solução exata é x = (2, 2) t . No caso deste exemplo é fácil reconhecer o extremo mal
condicionamento do sistema. De fato, o elemento
a (2)
22
= 0.1441 − 0.8648 × 0.2161
1.2969 = 0.1441 − 0.1440999923 10−8 .
Assim uma pequena mudança no elemento 0.1441 resultará numa grande mudança em a (2)
22
em x2, ou seja, mudando 0.1441 para 0.1442 teremos a (2)
22
¯x =
= 0.0001000077 com solução
−0.00015399
.
0.66646092
,
e portanto
Portanto, a menos que os coeficientes em A e b sejam dados com uma precisão melhor do que 10 −8 é
perigoso falar sobre uma solução do sistema dado.
Observe que com este exemplo, não queremos dizer que todas as soluções aproximadas de equações mal
condicionadas fornecem resíduos pequenos, mas apenas que algumas soluções aproximadas de equações
mal condicionadas fornecem resíduos bem pequenos.
Para a análise da pertubação, é conveniente sermos capazes de associar a qualquer vetor ou matriz
um escalar não negativo que em algum sentido mede suas grandezas. Tais medidas que satisfazem alguns
axiomas são chamadas normas. ( Revise normas de vetores e normas de matrizes, Capítulo 1).