Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 342
desde que φ1(x) e φ0(x) são ortogonais; e, para k > 1,
(φk(x), xφk−1(x)) = (φk(x), φk(x) + αk−1φk−1(x) + βk−1φk−2(x))
= (φk(x), φk(x)) .
desde que pela hipótese de indução φk−1(x) e φk−2(x) são ortogonais. Então, finalmente, temos:
desde que
(φk+1(x), φk−1(x)) = (φk(x), φk(x)) − βk (φk−1(x), φk−1(x)) = 0 ,
βk = (φk(x) − φk(x))
φk−1(x), φk−1(x)) .
c.3) Vamos considerar agora j = k − 2, k − 3, . . . , 1, 0 . Assim:
(φk+1(x), φj(x)) = (xφk(x) − αkφk(x) − βkφk−1(x), φj(x))
= (φk(x), xφj(x)) − αk (φk(x), φj(x)) − βk (φk−1(x), φj(x))
= (φk(x), xφj(x))
= (φk(x), φj+1(x) + αjφj(x) + βjφj−1(x))
= (φk(x), φj+1(x)) + αj (φk(x), φj(x)) + βj (φk(x), φj−1(x))
= 0 , pois j < k − 1.
Portanto, os polinômios definidos em (11.19) são dois a dois ortogonais.
Observe que obter uma sequência de polinômios ortogonais pelo Teorema 11.4 é muito mais fácil do
que obtê-los através do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. Muito mais fácil, pois o Teorema
anterior fornece uma fórmula de recorrência que envolve apenas três termos para obter qualquer polinômio
da sequência de grau k ≥ 2, enquanto que o processo de Gram-Schmidt requer o cálculo de k − 1 termos
para obter o polinômio de grau k, k = 1, 2, . . ..
11.3.1 Principais Polinômios Ortogonais
A sequência de polinômios φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . ., evidentemente, depende do produto escalar adotado
(forma geral (11.18)). Os mais conhecidos (inclusive já tabelados) e com os quais trabalharemos são
os seguintes:
Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre P0(x), P1(x), . . ., são obtidos segundo o produto escalar:
isto é, com ω(x) = 1, a = −1 e b = 1.
(f, g) =
1
−1
f(x) g(x) d(x) , (11.20)