Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 454
podemos discretizá-la facilmente pelo método explícito para obter:
Ui,j+1 = Ui,j + kf(xi, tj, Ui,j, Ui+1,j − Ui−1,j
,
2h
Ui+1,j − 2Ui,j + Ui−1,j
h2 ) . (13.48)
Uma análise da estabilidade linear desse método é possível e pode ser encontrada em detalhes em [?]
páginas 74-76. O resultado demonstrado em [?] é o seguinte:
Teorema 13.4 Seja f uma função satisfazendo as seguintes hipóteses:
1. fuxx
≥ γ > 0 ,
2. |fu| + |fux | + fuxx ≤ β ,
onde fφ representa a derivada parcial da função f com relação ao argumento φ e supomos que u seja
uma função 4 vezes diferenciável em x e 2 vezes em t. Então o método (13.48) é convergente se:
No caso em que:
h ≤ 2γ
β
f(x, t, u, ux, uxx) = (u m )xx = m(m − 1)u m−2
k 1 − βk
e 0 < ≤
h2 2β
2 ∂u
∂x
.
+ mu m−1 ∂2u , m ≥ 2, (13.49)
∂x2 teremos 0 < γ = mu m−1 e β = mu m−1 + 2m(m − 1)|u m−2 ux| + m(m − 1)(m − 2)|u m−3 (ux) 2 |.
Observe que assumimos que γ > 0 e portanto β > γ de forma que o teorema acima impõe as condições
de estabilidade:
1. h < 2γ/β < 2
2. k
k
< (1−βk)/(2β) ou seja β < (1−βk)/2 < 1/2. Usando agora que β > γ na última desigualdade
h2 h2 obtemos:
m−1 k k 1
mu = γ <
h2 h2 2 .
Esse mesmo resultado poderia ser obtido por comparação com a equação linear com coefientes constantes
reescrevendo a equação (13.49) na forma
ut = (mu m−1 ux)x ,
e compararando com a equação com coeficientes constantes, ut = (αux)x, para concluir que a condição
de estabilidade do método explícito toma a forma:
σ = αk
h2 = mum−1k h2 ≤ 1
2 .
Isto quer dizer que para problemas não lineares a estabilidade depende, além da equação de diferenças
finitas, da solução do problema que está sendo resolvido e portanto a condição de estabilidade pode variar
ao longo do domínio. Para obter-se um método implícito substitui-se as derivadas da variável espacial
por fórmulas envolvendo o mesmo nível de tempo. Um exemplo de método implícito para resolver (13.47)
é o método de Crank-Nicolson dado por:
f
xi, t j+ 1
2 , Ui,j+1 + Ui,j
2
, Ui,j+1 − Ui,j
k
, µδxUi,j+1 + µδxUi,j
,
2h
δ2 xUi,j+1 + δ2 xUi,j
2h2
= 0 ,