Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 18
Assim P0(x), P1(x), P2(x) são dois a dois ortogonais.
Observe que sempre que desejarmos obter uma sequência de polinômios ortogonais sobre um determinado
intervalo, podemos tomar a sequência 1, x, x 2 , . . . como sendo a sequência original e ortogonalizá-la.
Exercícios
1.19 - Usando o processo de Gram-Schmidt e o produto escalar usual do IR 3 , ortonormalizar a base:
e1 = (1, 1, 1) t , e2 = (1, −1, 1) t , e3 = (−1, 0, 1) t .
1.20 - Os vetores {(0, 2, 1, 0) t , (1, −1, 0, 0) t , (1, 2, 0, −1) t , (1, 0, 0, 1) t } constituem uma base
não ortonormal do IR 4 . Construir a partir desses vetores, uma base ortonormal para o IR 4 , usando o
processo de Gram-Schmidt.
1.21 - Ortonormalize a sequência de polinômios obtida no exemplo 1.16.
1.22 - Usando o produto escalar usual em C[1, 2] e o processo de Gram-Schmidt construa uma sequência
de polinômios ortonormais.
1.4 Projeção Ortogonal
Veremos aqui a projeção ortogonal de um vetor sobre outro bem como a projeção ortogonal de um
vetor sobre um sub-espaço. Esse último será utilizado no estudo de aproximações de funções pelo método
dos mínimos quadrados.
Projeção Ortogonal de um Vetor sobre Outro
Sejam x e y vetores não nulos. Escolhemos um número real λ tal que λ y seja ortogonal a x − λ y,
como sugere a Figura 1.2, no caso em que E = IR 2 .
x
λ y
✯ ✻
x − λ y
✲ ✲
y
Figura 1.2
De λ y ⊥ (x − λ y), concluímos que (λ y, x − λ y) = 0. Portanto, aplicando P3, segue que:
Assim, obtemos a seguinte definição.
λ(y, x) − λ 2 (y, y) = 0 → λ =
(x, y)
(y, y) .
Definição 1.14 - Num espaço euclidiano real, chama-se projeção ortogonal de x sobre y, y = θ, o
vetor z definido por:
z = (projeção de x sobre y) =
(x, y)
(y, y) y.