Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 479
13.15 Sejam p1(x) = amxm + am−1xm−1 + · · · + a1x + a0 e p2(x) = blxl + bl−1xl−1 + · · · + b1x + b0
dois polinômios de graus m e l e A uma matriz N × N. Se λ é um autovalor de A com autovetor v e se
p1(A) for uma matriz inversível então p2(λ)
p1(λ) é autovalor de (p1(A)) −1p2(A) com autovetor v. Utilize esse
resultado para mostrar que os autovalores da matriz de amplificação do método de Crank-Nicolson são:
λi = 1 − 2σ sen 2 ( iπ
2N )
1 + 2σ sen 2 ( iπ
2N )
i = 1, 2, . . . , N − 1.
13.16 Considere a seguinte aproximação para a equação do calor no intervalo [0, 1]:
3
2k ∆tUi,j − 1
2k ∇tUi,j = 1
h2 δ2 xUi,j+1
Utilizando o critério da matriz analise a estabilidade desse método.
13.17 Considere a equação parabólica não linear
que pode ser aproximada pelo método implícito,
Ui,j+1 − Ui,j
k
ut = u m xx, m inteiro ≥ 2
= θδ2 x(Ui,j+1) m + (1 − θ)δ2 x(Ui,j) m
h2 .
Expansão em série de Taylor de (u(xi, tj+1)) m , em torno do ponto (xi, tj) produz:
(ui,j+1) m = (ui,j) m m
∂(ui,j)
+ k + · · ·
∂t
= (ui,j) m m−1 ∂ui,j
+ km(ui,j) + · · · .
∂t
Dessa forma a menos de termos de ordem maior que O(k), temos a seguinte aproximação:
(Ui,j+1) m = (Ui.j) m + m(Ui,j) m−1 (Ui,j+1 − Ui,j)
que se substituída na equação do método o torna linear. Escrevendo ωi = Ui+1,j −Ui,j deduza um sistema
linear em termos dessa nova variável.
13.18 Considere a equação parabólica não linear:
ut = φ(x, t, u, ux, uxx), 0 < x < 1, 0 < t ≤ T,
u(x, 0) = ψ(x),
u(0, t) = f(t),
u(1, t) = g(t). (13.96)
Esse problema constitue um problema bem posto se a condição ∂φ
≥ a > 0 estiver satisfeita no domínio.
∂uxx
Expandindo u(xi, tj+1) em série de Taylor no ponto (xi, tj), e utilizando a equação (13.96) para substituir
ut deduza um método explícito para resolvê-la.
Uma outra classe importante de equações parabólicas não lineares é:
uxx = φ(x, t, u, ux, ut), 0 < x < 1, 0 < t ≤ T,
u(x, 0) = ψ(x),
u(0, t) = f(t),
u(1, t) = g(t). (13.97)