Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL290
Pelo resultado obtido, vemos que se tomarmos um polinômio do 2 o para avaliar f(0.25), obteremos o
resultado com duas casas decimais corretas.
Observações:
a) O número de zeros depois do ponto decimal, no resultado do erro, fornece o número de casas
decimais corretas que teremos na aproximação.
b) Observe que poderíamos ter tomado: x0 = 0.1, x1 = 0.2 e x3 = 0.3. Se tomarmos esses
pontos, obtemos que |R2(f; x) 0.0054 5×10 −3 o que implica que obteremos duas casas decimais
corretas na aproximação. Assim tanto faz tomarmos um ponto a esquerda, e dois a direita de 0.25,
ou dois pontos a esquerda e um a direita, que o erro será da mesma ordem de grandeza.
Exercícios
10.7 - Seja f(x) = 7x 5 − 3x 2 − 1.
a) Calcular f(x) nos pontos x = 0; x = ±1; x = ±2; x = ±3 (usar o algorítmo de Briot-
Ruffini). Construir a seguir a tabela segundo os valores crescentes de x.
b) Construir o polinômio de interpolação para esta função sobre os pontos −2; −1; 0; 1.
c) Determinar, pela fórmula (10.17), um limitante superior para o erro de truncamento em
x = −0.5 e x = 0.5.
10.8 - Conhecendo-se a tabela:
x 0.8 0.9 1.0 1.1 1.3 1.5
cos x 0.6967 0.6216 0.5403 0.4536 0.2675 0.0707
calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando calculamos cos 1.05 usando polinômio
de interpolação sobre 4 pontos.
10.9 - Um polinômio Pn(x), de grau n, coincide com f(x) = ex nos pontos 0 n , 1 n , . . . , n − 1
n , n . Qual
o menor valor de n que se deve tomar a fim de que se tenha:
10.5 Interpolação Linear
|e x − Pn(x)| ≤ 10 −6 , para 0 ≤ x ≤ 1?
No caso em que se substitui a função f(x) entre dois pontos a e b por um polinômio de interpolação
P1(x) do 1 ō grau, tal que P1(a) = f(a) e P1(b) = f(b) diz-se que se fez uma interpolação linear entre
a e b.
Neste caso, em que n = 1, a fórmula (10.10) se reduz, sucessivamente, a:
P1(x) =
1
k=0
x − x1
= f0
= −
fkℓk(x) = f0 · ℓ0(x) + f1ℓ1(x) =
x0 − x1
x − b
b − a
x − x0
+ f1
x1 − x0
f(a) + x − a
b − a
x − b
= f(a)
a − b
f(b) .
+ f(b)x − a
b − a