Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 474
Figura 4.5: Problema de Neumann no retângulo
Diferentemente do caso da condição de Dirichlet onde o valor de u é conhecido na fronteira, no presente
caso devemos determinar u tambem nos pontos da fronteira. De forma que precisamos considerar a
equação de diferenças finitas para pontos como o ponto C da figura 4.5. Como a equação de diferenças
utiliza pontos para traz e para frente (também para cima e para baixo) teremos que introduzir pontos
fantasmas que estão fora do domínio de cálculo, como aqueles formados pelas linhas tracejadas da figura
4.5. Utilizamos então as condições de fronteira para eliminá-los. Assim, a equação de Poisson discretizada
no ponto C fica:
UO − 2UC + UL
h2 + UN − 2UC + US
k2 = fC. (13.91)
O ponto O é fantasma e deve ser eliminado. Descrevemos à seguir como eliminar esse ponto. Procedese
de maneira similar na eliminação de pontos sobre as outras linhas tracejadas.
Com esse objetivo aproximamos a condição de fronteira ∂u(0,y)
∂x = f4(y) por diferenças centrais no
ponto C para obter:
ou seja
Portanto (13.91) transforma-se em:
f4(yC) = UL − UO
2h
UL − 2hf4(yC) − 2UC + UL
h 2
UO = UL − 2hf4(yC). (13.92)
+ UN − 2UC + US
k 2
= fC.
Eliminado os termos comuns e passando aqueles conhecidos para o segundo membro obtemos:
2UL − 2UC
h 2
+ UN − 2UC − US
k 2
= fC + 2f4(yC)
h 2 . (13.93)
Observando as equações (13.93) e (13.90) concluimos que o efeito das condições de fronteira no primeiro
caso e da irregularidade da fronteira no segundo, sobre as equações discretizadas é a modificação do termo
independente no lado direito dessas equações e também a modificação de alguns elementos da matriz
de coeficientes. As modificações na matriz são as mais relevantes pois apesar de somente uns poucos
elementos sofrerem modificações, estas podem ser suficientes para destruir propriedades importantes da
matriz tais como simetria e diagonal dominância.