Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 480
Esse problema constitue um problema bem posto se a condição ∂φ
≥ a > 0 estiver satisfeita no domínio.
∂ut
Discretizando as derivadas espaciais por diferenças centrais e a derivada temporal por diferença regressiva,
no ponto (xi, tj+1), obtenha um método impícito para resolver (13.97). Qual a ordem desse método?
Considere a equação parabólica quase-linear com
φ(x, t, ux, ut) = a(x, t, u)ux + b(x, t, u)ut + c(x, t, u).
baseando-se no exercício anterior obtenha um método implícito para resolver esse problema que seja linear,
isto é cuja solução requeira a solução de um sistema linear apenas. Derive o método de Crank-Nicolson
para a equação (13.97).
13.19 Seja ψ a solução da equação do calor ψt = ψxx. Mostre que se ψ = exp(− v
2 ) e u = vx, então u é
solução da equação não linear:
ut = uxx − uux.
Utilizando a transformação acima encontre a solução exata do problema:
ut = uxx − uux 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = sen πx
u(0, t) = u(1, t) = 0
Resolva esse problema numericamente utilizando um dos métodos discutidos acima e compare seus resultados
com a solução exata.
13.20 Determinar o erro de truncamento local e a estabilidade do método de Hopscotch.
13.21 Mostre que cada uma das fórmulas de Saul’yev (??-??) é incondicionalmente estável.
13.22 Utilizando o método da matriz mostre a que condição de estabilidade da equação de diferenças:
Ui,j+1 = Ui,j + σ(Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j), i = 0, 1, . . . N − 1
U−1,j = U1,j + 20hU0,j
UN,j = 0
é σ ≤ 1
1
2+10h . Por outro lado usando o critério de von Neumann obtemos a condição σ ≤ 2 . Conclua
então que o critério de von Neumann é uma condição necessária mas não suficiente para estabilidade da
equação de diferenças.
13.23 Mostre que a complexidade algorítmica (número de operações aritméticas) do método explícito
para resolver a equação do calor em 2D é: 4 adições + 3 multiplicações por ponto da malha. Mostre
também que no caso de um método ADI esse número é: 10 adições + 8 multiplicações + 6 divisões.
13.24 Considere o método obtido pela média ponderada dos métodos implícito e explícito:
Ui,j+1 − Ui,j = σ θδ 2 xUi,j+1 + (1 − θ)δ 2 xUi,j
k
, σ = , 0 ≤ θ ≤ 1.
h2 Observe que para θ = 0 obtemos o método explícito, para θ = 1 obtemos o método implícito e para
θ = 1/2 obtemos o método de Crank-Nicolson. Deduzir a expressão do erro de truncamento local e
usando a técnica de von Neumann mostre que para 0 ≤ θ < 1/2 o método é estável se σ ≤ 1
2(1−2θ) e
incondicionalmente estável para 1/2 ≤ θ ≤ 1.
13.25 Mostre que os métodos implícito e ADI em 2D são incondicionalmente estáveis.