Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 2. ANÁLISE DE ARREDONDAMENTO EM PONTO FLUTUANTE 50
Seja P o processo nos quais os dados x são transformados no resultado y, isto é: y = P (x). Se o
processo P é contínuo num ponto x, então a definição de continuidade (matemática) exige que para cada
ɛ > 0, ∃ δ(ɛ) > 0 tais que:
|P (˜x) − P (x)| < ɛ sempre que |˜x − x| < δ(ɛ) .
Quanto maior a função δ(ɛ) pode ser escolhida, mais contínuo é o processo P . No caso em que grandes
mudanças nos dados produzem somente pequenas mudanças nos resultados, ou se δ(ɛ) pode ser escolhido
grande, a condição do problema é boa, e o problema é chamado bem condicionado. Por outro lado, se
pequenas mudanças nos dados produzem grandes mudanças nos resultados, ou se δ(ɛ) deve ser escolhido
pequeno, a condição do problema é má, e o problema é chamado mal condicionado.
Exemplo 2.20 - Analisar o problema de valor inicial do exemplo 2.19.
Solução: Se queremos que a solução y(x) num ponto x seja mudada por não mais que uma quantidade
ɛ, então a condição inicial y ′ (0) = −1 deve ser mudada por não mais que: δ(ɛ) = ɛ , o
senh x
qual pode ser feito arbitrariamente pequeno escolhendo x grande. Por exemplo para x = 10, obtemos:
δ(ɛ) = 0.9 × 10−4 ɛ. Assim temos um problema mal condicionado.
Podemos também verificar se um problema é ou não mal condicionado analisando o número de
condição do problema. O problema será bem condicionado se o número de condição for pequeno e será
mal condicionado se o número de condição for grande. Entretanto a definição de número de condição
depende do problema.
Seja y = P (x), com P diferenciável. Então a mudança em y causada pela mudança em x pode ser
aproximada, (no sentido do cálculo diferencial) pelo diferencial de y, isto é: dy = P ′ (x) dx. Assim o
comprimento de |P ′ (x)| do operador linear P (x) representa o número de condição do problema num
ponto x. O número de condição relativa é definido por:
cr = |P ′ (x)|
| .
|P (x)|
Assim se cr ≤ 1 dizemos que o problema é relativamente bem condicionado.
Exemplo 2.21 - Analisar o problema de calcular:
num ponto x qualquer.
f(x) =
ln 1
−1 8
,
x
Solução: Desde que f é diferenciável o número de condição é simplesmente |f ′ (x)|. Assim:
f ′ (x) = − 1
ln
8
1
−9 2 8 −1/x
x 1/x
=
1
8 x
ln 1
−9 8
,
x