Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 135
4.16 - Considere as matrizes:
⎛
A = ⎝
1 1 0
1 2 1
0 −1 3
⎞
⎛
⎠ ; B = ⎝
3 1 0
1 3 2
0 2 1
Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax = b, Bx = b, pelo processo de Cholesky, onde
b = (2, 1, 5) t .
4.17 - Mostre que: Se o sistema de equações algébricas Ax = b , onde A é matriz não singular, é
transformado no sistema equivalente Bx = c, com B = A t A; c = A t b, onde A t é a transposta de A,
então o último sistema pode sempre ser resolvido pelo processo de Cholesky (isto é, a matriz B satisfaz
as condições para a aplicação do método). Aplicar a técnica acima para determinar pelo processo de
Cholesky, a solução do sistema:
⎛
⎝
1 0 1
1 1 0
1 1 0
⎞
⎠
⎛
⎝ x1
x2
x3
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 2
2
2
4.6 Método de Eliminação de Gauss com Pivotamento Parcial
Além dos problemas já citados nesse capítulo para os métodos baseados na decomposição LU, existe
um outro problema mais sério que está relacionado com a propagação dos erros de truncamento do
computador. Assim, para ilustrar tal situação, consideremos um exemplo hipotético, (sistema linear de
ordem 2, com uma máquina que trabalha apenas com 3 dígitos significativos). Tal exemplo servirá para
ilustrar o que acontece com um sistema de grande porte num computador qualquer, visto que os mesmos
operam com um número fixo e finito de algarismos significativos.
Exemplo 4.7 - Através do método de Eliminação de Gauss, resolver o sistema linear:
0.0001 x1 + 1.00 x2 = 1.00
1.00 x1 + 1.00 x2 = 2.00
usando em todas as operações três dígitos significativos.
Solução: É fácil verificar que a solução desse sistema é:
x =
1.00010
0.99990
.
Agora, resolvendo o sistema dado, pelo método de Eliminação de Gauss, com 3 dígitos significativos
em todas as operações, obtemos:
0.000100 1.00 | 1.00
1.00 1.00 | 2.00
cuja solução é:
x =
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .
0.000100 1.00 | 1.00
−10000 | −10000
0
1
Portanto, obtemos uma solução muito diferente da solução exata do sistema.
A propagação de erros ocorre principalmente quando multiplicamos um número muito grande por
outro que já contém erro de arredondamento. Por exemplo, suponha que um dado número z tenha um
.
,