Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 163
O processo iterativo definido por:
x (k+1) = −(L ∗ + I) −1 R ∗ x (k) + (L ∗ + I) −1 b ∗ , (5.10)
é chamado de Método de Gauss-Seidel.
Comparando (5.10) com (5.2) vemos que a matriz de iteração do método de Gauss-Seidel é: −(L ∗ +
I) −1 R ∗ .
Observe que pré-multiplicando (5.10) por (L ∗ + I) , segue que:
ou
(L ∗ + I)x (k+1) = −R ∗ x (k) + b ∗
x (k+1) = −L ∗ x (k+1) − R ∗ x (k) + b ∗ . (5.11)
Por (5.11) vemos que as componentes de x (k+1) podem ser calculadas sucessivamente sem necessidade
de se calcular (L ∗ + I) −1 .
Dado o sistema (5.4), o método de Gauss-Seidel consiste na determinação de uma sequência de
aproximantes da iteração k:
a partir de valores iniciais:
x (k)
1
, x (k)
2
, . . . , x (k)
n
x (0)
1 , x (0)
2 , . . . , x (0)
n ,
através do processo iterativo definido por (5.11), isto é:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x (k+1)
1
x (k+1)
2
x (k+1)
3
. . . . . .
x (k+1)
n
= − a ∗ 12x (k)
2
= − a ∗ 21x (k+1)
1
= − a ∗ 31x (k+1)
1
= − a ∗ n1x (k+1)
1
− a∗ 13x (k)
3
− a ∗ 23x (k)
3
− a ∗ 32x (k+1)
2
− a ∗ n2x (k+1)
2
k = 1, 2, 3, . . . ,
− . . . − a∗ 1nx (k)
n + b ∗ 1
− . . . − a∗ 2nx (k)
n + b ∗ 2
− . . . − a ∗ 3nx (k)
n + b ∗ 3
− . . . − a ∗ n,n−1x (k+1)
n−1
Esse método difere do processo de Jacobi-Richardson por utilizar para o cálculo de uma componente
de x (k+1) o valor mais recente das demais componentes. Por esse motivo o método da Gauss-Seidel
também é conhecido por Método dos Deslocamentos Sucessivos.
Critérios de Convergência
Fazendo B = −(L ∗ +I) −1 R ∗ no critério geral de convergência, (Lema 5.1), vamos agora obter critérios
de convergência para o método de Gauss-Seidel.
Inicialmente lembremos, (veja definição 1.13), que se k satisfizer a desiguladade Bx ≤ k x
teremos B ≤ k. Impondo k < 1 teremos uma condição suficiente para garantir a convergência do
método de Gauss-Seidel. Vejamos então como obter tal condição. Para tanto, seja y = Bx, isto é:
y = − (L ∗ + I) −1 R ∗ x
⇒ (L ∗ + I) y = − R ∗ x
⇒ y = −L ∗ y − R ∗ x .
Assim o vetor y é obtido do vetor x a partir das equações:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
y1 = − a ∗ 12 x2 − a ∗ 13 x3 − . . . − a ∗ 1n xn
y2 = − a ∗ 21 y1 − a ∗ 23 x3 − . . . − a ∗ 2n xn
y3 = − a ∗ 31 y1 − a ∗ 32 y2 − . . . − a ∗ 3n xn
.
yn = − a ∗ n1 y1 − a ∗ n2 y2 − . . . − a ∗ n,n−1 yn−1
+ b∗ n
(5.12)