Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 28
é uma matriz de rotação de um ângulo ϕ no plano dos eixos p e q.
Uma Matriz Ortogonal U é caracterizada por:
onde I: matriz identidade. Portanto U t = U −1 .
U t U = UU t = I ,
Observe que matrizes de rotação são matrizes ortogonais.
Propriedades de Matrizes Ortogonais
1) As linhas de U satisfazem:
2) ||Ux|| = ||x||, ∀x ∈ IR n .
n
j=1
n
j=1
i=k
(uij) 2 = 1 (produto de uma linha por ela mesma) ,
uij ukj = 0 (produto de duas linhas distintas) .
3) A transformação ortogonal não muda os ângulos entre dois vetores. Portanto uma transformação
ortogonal ou é uma rotação ou é uma reflexão.
4) Os auto-valores são: 1 ou -1.
5) O determinante é 1 ou -1.
Para finalizar essa seção daremos um teorema que nos permite ter uma idéia da localização dos autovalores
de uma matriz, seja ela simétrica ou não. Os auto-valores de matrizes não simétricas podem, é
lógico, serem complexos, e nestes casos o teorema fornece a localização destes números no plano complexo.
Existem situações onde não é necessário obter os auto-valores com muita precisão, isto é, existem ocasiões
onde o que desejamos é saber se os auto-valores são positivos ou então se estão contidos no círculo
unitário. O Teorema a seguir pode ser usado para responder a estas perguntas sem a necessidade de
cálculos detalhados.
Teorema 1.10 - Teoremas de Gerschgorin
a) Primeiro Teorema de Gerschgorin - Os auto-valores de uma matriz A = (aij) estão na reunião dos
círculos de centro aii e raio
n
ri = |aij| , i = 1, 2, . . . , n ,
no plano complexo.
j=1
j=i
b) Segundo Teorema de Gerschgorin - Se a união de q desses círculos formam uma região conectada,
isolada dos círculos restantes, então existe q auto-valores nessa região.
Prova: A prova deste teorema pode ser encontrada em [Wilkison, 1965].