Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 441
Definição 13.3 - Um método numérico é convergente num ponto (x, t) do domínio se o erro global
Ei,j associado com esse ponto tende a zero quando os indices i e j tendem para infinito de maneira que
o ponto x = i ∗ h e t = j ∗ k permaneça fixo.
O teorema de equivalência de LAX estabelece que para equações lineares as propriedades de estabilidade
e consistência são equivalentes àquela de convergência. (citar referencia)
Voltando ao exemplo do método explícito observamos que desigualdade 1 − 2σ ≥ 0, pode ser reescrita
como σ ≤ 1
2 , que é a condição para estabilidade para esse método, que será então chamado de
condicionalmente estável.
Chamamos atenção também para o fato de que a estabilidade é uma propriedade intrinseca da equação
de diferenças finitas, e consiste em que esta não tenha o defeito de amplificar erros dos passos anteriores. Já
com relação aos critérios para determinação da estabilidade, estudaremos a seguir os dois mais conhecidos:
o de Von Neumann e o da matriz.
Estabilidade - Critério de von Neumann
Este é um critério simples e muito utilizado para determinar a estabilidade de um método numérico.
Ele é baseado no princípio da superposição, ou seja na observação de que o erro global é a somatória de
erros mais simples também chamados harmônicos. Esse processo é inspirado na expansão de uma função
em série de Fourier. Denotando por Ei, i = 0, 1, . . . N o erro global em cada ponto ao longo da primeira
linha t = 0 podemos escrever:
Ei =
N
an exp(Iαnih), i = 0, 1, . . . N ,
n=0
onde I = √ −1, αn = nπ L e Nh = L, o que constitui um sistema linear com N + 1 incógnitas an e N + 1
equações, cuja matriz dos coeficientes é não singular, e portanto pode ser resolvido de maneira única para
determinar an. Tendo representado o erro no passo inicial, para analisar sua propagação ao longo dos
passos subsequentes basta observar a propagação de um harmônico genérico exp(Iβih) exp(λjk) onde β
é um número real e λ um número complexo, ambos arbitrários.
Portanto a estratégia do critério de von Neumann para determinação da estabilidade é a de examinar
o resultado da propagação de um dado modo de Fourier em uma linha ou estágio subsequente j. Se houve
amplificação desse harmônico dizemos que o método é instável, se houve amortecimento ele será estável.
Por utilizar o princípio de superposição o critério de von Neumann só deve ser usado quando a equação
é linear com coeficientes constantes e além disso ele ignora completamente a influência das condições de
fronteira sobre o comportamento da solução da equação de diferenças. Geralmente, a condição de estabilidade
deduzida do critério de von Neumann produz uma condição necessária para a estabilidade, mas
não suficiente, uma discussão bastante detalhada desse problema é apresentada em [?] páginas 117-132,
veja também o exercício (13.22).
A seguir ilustramos a aplicação prática do critério de von Neumann utilizando-o para determinar a
estabilidade do método explícito. Com esse objetivo vamos admitir então que exista uma solução da
equação de diferenças (13.17) da forma:
Ui,j = e λj e Iβi = (e λ ) j e Iβi , (13.25)
e tentamos encontrar λ e β tais que (13.25) seja de fato uma solução de (13.17). Substituimos (13.25)
em (13.17) para obter:
e λ(j+1) e Iβi = (1 − 2σ)Ui,j + σ(e λj e Iβ(i−1) + e λj e Iβ(i+1) ) .