Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 87
determinarmos os coeficientes bk, k = 0, 1, . . . , n em (3.19) para valores arbitrários de α e β, expandimos
o lado direito da igualdade (3.19). Assim:
P (x) = x2 bn xn−2 + bn−1 xn−3
+ . . . + b2
− αx bn xn−2 + bn−1 xn−3
+ . . . + b2
− β bn xn−2 + bn−1 xn−3
+ . . . + b2
+ b1(x − α) + b0
= bn x n + (bn−1 − α bn) x n−1 + (bn−2 − α bn−1 − β bn) x n−2
+ . . . + (b1 − α b2 − β b3) x + (b0 − α b1 − β b2) .
Igualando esses coeficientes aos de P (x) em (3.15) e reagrupando os termos, obtemos as fórmulas de
recorrência:
bn = an ,
bn−1 = an−1 + α bn ,
bn−2 = an−2 + α bn−1 + β bn ,
(3.21)
.
b1 = a1 + α b2 + β b3 ,
b0 = a0 + α b1 + β b2 .
Os números bn, bn−1, . . . , b2 são os coeficientes do polinômio Q(x).
Esquema Prático para o cálculo de bk, k = 0, 1, . . . , n
Seja P (x) = anx n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0. Então:
an an−1 an−2 . . . a2 a1 a0
+ + + + +
α ↓ αbn αbn−1 . . . αb3 αb2 αb1
+ + + +
β ↓ ↓ βbn . . . βb4 βb3 βb2
bn bn−1 bn−2 . . . b2 b1 b0
Em (3.21) b1 e b0 são, logicamente, funções de α e β. Em geral, para uma escolha arbitrária de α e
β, eles não se anularão. Encontrar o fator quadrático que seja divisor exato de P (x) equivale a resolver
o sistema de equações não lineares:
b1 (α, β) = 0
(3.22)
b0 (α, β) = 0
Se (α0, β0) forem aproximações das raízes (¯α, ¯ β) de (3.22), podemos tentar resolver esse sistema pelo
método de Newton para funções de duas variáveis. A correção (δα0) de (α0, β0) onde:
pode ser encontrada solucionando-se o sistema:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
δα0 = α1 − α0 e δβ0 = β1 − β0 ,
∂b1
∂α δα0 + ∂b1
∂β δβ0 = −b1 (α0, β0)
∂b0
∂α δα0 + ∂b0
∂β δβ0 = −b0 (α0, β0)
(3.23)
onde as derivadas parciais devem ser calculadas em (α0, β0). Uma vez que não podemos expressar b1 e
b0, explicitamente, como funções de α e β, não podemos calcular explicitamente as derivadas. Bairstow
propôs um método simples para calcular numericamente estas derivadas parciais.