Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 133
Exemplo 4.6 - Seja:
A =
⎛
⎝
4 2 −4
2 10 4
−4 4 9
⎞
⎠ .
a) Verificar se A satisfaz as condições do método de Cholesky.
b) Decompor A em GG t .
c) Calcular o determinante de A, usando a decomposição obtida .
d) Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, 6, 5) t .
Solução:
a) A matriz A é simétrica. Devemos verificar se é positiva definida. Temos:
det(A1) = 4 > 0 , det(A2) = 36 > 0 , det(A3) = det(A) = 36 > 0 .
Logo, A satifaz as condições da decomposição GG t .
b) Usando as fórmulas (4.9) e (4.10), obtemos:
Obtemos então:
g11 = √ a11 ⇒ g11 = √ 4 ⇒ g11 = 2 ,
g21 = a21
g11
g31 = a31
g11
⇒ g21 = 2
2 ⇒ g21 = 1 ,
⇒ g31 = −4
2 ⇒ g31 = −2 ,
g22 = a22 − g 2 1/2 21 ⇒ g22 = 10 − 1 21/2 ⇒ g22 = 3 ,
g32 = a32 − g31g21
g22
⇒ g32 =
4 − (−2)(1)
3
⇒ g32 = 2,
g33 = a33 − g 2 31 − g 2 1/2 32 ⇒ g33 = 9 − (−2) 2 − 2 21/2 ⇒ g33 = 1.
⎛
⎝
4 2 −4
2 10 4
−4 4 9
⎞
⎠ =
⎛
⎝
2 ○
1 3
−2 2 1
c) det(A) = (g11 g22 g33) 2 = (2 × 3 × 1) 2 = 36.
⎞
⎠
⎛
⎝
2 1 −2
3 2
○ 1
d) Para obter a solução do sistema Ax = b, devemos resolver dois sistemas triangulares: Gy = b e
G t x = y.
⎞
⎠ .