Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 463
Assim, as derivadas podem ser aproximadas por:
uxx(xi, yj) u(xi + h, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi − h, yj)
h 2
uyy(xi, yj) u(xi, yj + k) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj − k)
k2 .
Substituindo essas aproximações em (13.73) obtemos:
u(xi + h, yj) − 2u(xi, yj) + u(xi − h, yj)
−
h2 + u(xi, yj + k) − 2u(xi, yj) + u(xi, yj − k)
k2
f(xi, yj). (13.74)
Note que a expressão (13.74) não representa uma equação porque o segundo membro é somente uma
aproximação para o primeiro e portanto não temos uma igualdade. Isto decorreu de termos substituído
uxx(xi, yj) e uyy(xi, yj) por suas respectivas aproximações. Podemos transformar (13.74) numa equação,
simplesmente trocando o sinal pelo de igualdade. Se assim procedermos, no entanto, não poderemos
mais garantir que os valores numéricos presentes no lado esquerdo de (13.74) coincidam com os valores
da solução de (13.71) nos mesmos pontos.
Seguindo a notação utilizada na literatura denotaremos por ui,j o valor da solução no ponto (xi, yj)
e por Ui,j a solução da equação de diferenças:
Ui+1,j − 2Ui,j + Ui−1,j
−
h2 + Ui,j+1 − 2Ui,j + Ui,j−1
k2
= fi,j. (13.75)
A equação (13.75) deverá ser aplicada para todos os pontos em Rδ. Para os pontos em ∂Rδ calculamos
Ui,j da condição de fronteira de Dirichlet
Ui,j = g(xi, yj). (13.76)
Nossa esperança quando escrevemos a equação (13.75) é que Ui,j seja uma aproximação para u(xi, yj),
isto é, Ui,j u(xi, yj). Demonstraremos mais adiante que, de fato, isto é verdadeiro. Provaremos mais
ainda que Ui,j “converge” para u(xi, yj) quando a malha é refinada. Para simplificar a notação para a
equação de diferenças definimos o operador:
Ui+1,j − 2Ui,j + Ui−1,j
−∆δUi,j = −
h2 + Ui,j+1 − 2Ui,j + Ui,j−1
k2
.
Com essa notação as equações discretas (13.75)-(13.76) podem ser reescritas na forma:
−∆δUi,j = f(xi, yj), (xi, yj) ∈ Rδ
(13.77)
Ui,j = g(xi, yj), (xi, yj) ∈ ∂Rδ. (13.78)
Substituindo na equação (13.77) cada um dos (N −1)×(M −1) pontos interiores da malha em Rδ veremos
que a função discreta U satisfaz um sistema de equações lineares com (N −1)×(M −1) equações no mesmo
número de incógnitas, incógnitas essas que são as aproximações para a solução da equação diferencial nos
pontos da malha. Em notação matricial, seguindo a convenção notacional adotada no caítulo 3, podemos
escrever esse sistema como:
AU = c