Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 348
ou
b
a
ω(x) f(x) dx =
Portanto, fica provada a relação (11.24).
=
=
=
b
a
b
a
n
k=0
n
k=0
ω(x) Pn(x) dx
ω(x)
f (xk)
n
k=0
b
a
Akf (xk) .
ℓk(x) f (xk)
ω(x) ℓk(x) dx
Esta propriedade garante então que, para integrar um polinômio de um certo grau k, basta trabalharmos
com um polinômio ortogonal de grau aproximadamente k/2. E mais, descartados os erros de
arredondamento, o resultado deve ser exato.
11.4 Fórmulas de Quadratura de Gauss
São fórmulas usadas para se calcular:
b
a
ω(x) f(x) dx ,
valendo-se do resultado da propriedade 4. Calculamos o valor aproximado da integral usando:
onde:
b
a
ω(x) f(x) dx
Ak =
b
a
n
k=0
Ak f (xk) ,
ω(x) ℓk(x) dx ,
e ℓk(x) são os polinômios de Lagrange sobre as raízes x0, x1, . . . , xn de φn+1(x).
Assim, o procedimento para se calcular uma integral usando Quadratura de Gauss, é o seguinte:
a) determinar o polinômio ortogonal φn+1(x), segundo o produto escalar conveniente, isto é, com a
função peso ω(x) e no intervalo [a, b].
b) calcular as raízes x0, x1, . . . , xn de φn+1(x).
c) determinar os polinômios de Lagrange ℓk(x), k = 0, 1, . . . , n, usando os pontos x0, x1, . . . , xn obtidos
em b).
d) calcular Ak = b
a ω(x) ℓk(x) dx , k = 0, 1, . . . , n.
dx