Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL299
Assim, o elemento 0, corresponde à diferença dividida f [x1, x2, x3]. Portanto usando a definição, segue
que: f [x1, x2, x3] = f [x2, x3] − f [x1, x2]
x3 − e usando o item c) acima, temos que: f [x1, x2, x3] =
x1
1 − 1 = 0.
1 − (−1)
Observação: Como veremos adiante, os resultados a serem utilizados na construção do polinômio de
interpolação na forma de Newton são os primeiros valores em cada coluna de diferenças embora tenhamos
que construir toda a tabela pois os valores não são independentes uns dos outros.
10.7.3 Alguns Resultados sobre Diferenças Divididas
Teorema 10.5 - As diferenças divididas de ordem k de uma função f(x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk] =
+
f [x0]
(x0 − x1) (x0 − x2) . . . (x0 − xk)
f [x1]
(x1 − x0) (x1 − x2) . . . (x1 − xk)
+ . . . +
f [xk]
(xk − x0) (xk − x1) . . . (xk − xk − xk−1) .
Corolário 10.2 - As diferenças divididas de ordem k de uma função f(x), satisfazem:
f [x0, x1, . . . , xk] = f [xj0 , xj1 , . . . , xjk ] ,
onde (j0, j1, . . . , jk) é qualquer permutação dos inteiros (0, 1, . . . , k).
Corolário 10.3 - As diferenças divididas de ordem k de uma função f(x), satisfazem:
Observações:
f [x0, x1, . . . , xk] =
= f [x0, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xk] − f [x0, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xk]
xj − xi
, i = j .
a) O Corolário 10.2 afirma que a diferença dividida de f(x), é uma função simétrica de seus
argumentos, isto é, independe da ordem dos pontos x0, x1, . . . , xk.
b) O Corolário 10.3 afirma que podemos tirar quaisquer dois pontos para construir a diferença
dividida de uma função, e não necessariamente o primeiro e o último.
10.7.4 Fórmula de Newton
Para obtermos a forma de Newton do polinômio de interpolação precisamos inicialmente definir algumas
funções. Para tanto, consideremos que f(x) seja contínua e que possua derivadas contínuas em
[a, b], e além disso, que os pontos x0, x1, . . . , xn sejam distintos em [a, b]. Definimos então as funções: