Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 472
O vetor c contém o valor da função f(x, y) avaliada nos pontos correspondentes à enumeração da figura
4.4 e também os valores da fronteira, por exemplo a primeira coordenada de c é:
c1 = f(x5, y1) + g(x4, y1) + g(x6, y1)
h 2
+ g(x5, y0)
k 2
que corresponde ao valor de f no ponto 1 adicionado aos valores da fronteira correspondentes aos pontos
à esquerda e à direita de 1 e tamém do ponto abaixo.
As demais coordenadas de c são calculadas de maneira similar e deixamos como exercício. Ver
Exercício (13.37). )
A outra técnica consiste na utilização de um polinômio de primeiro grau na interpolação. No caso
da figura 4.3 utilizamos os pontos P e C para interpolação e avaliamos esse polinômio no ponto O, na
verdade uma extrapolação! Assim o valor de UO será expresso como função dos valores de UP que é
conhecido e de UC que não o é. Isto produz uma equação que permite a eliminação de UO da equação
de diferenças para UC.
Deduzimos à seguir as fórmulas para o caso especial do ponto C da figura 4.3. Na notação da figura
4.3 temos
UO − 2UC + UL
h2 + UN − 2UC + US
k2 = fC. (13.89)
A grande dificuldade de (13.89) comparado com (13.75) é que em (13.89) o valor de UO é desconhecido
pois este não está sobre a fronteria como seria o caso quando o domínio é retangular. Observe na figura
4.4 a ampliação de uma parte da figura 4.3 onde mostramos uma célula onde a fronteira do domínio corta
seus lados.
O polinômio linear que interpola UP e UC é
Figura 4.4: Interpolação Linear
[(x − xC)UP − (x − xP )UC]
1
xP − xC
A aproximação para UO pode então ser facilmente deduzida substituindo x por xO na expressão acima
para obter:
UO [(xO − xC)UP − (xO − xP )UC]
1
xP − xC
.
= [−hUP + (1 − θ1)hUC] −1
hθ1
= 1
[UP − (1 − θ1)UC] .
θ1