Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 196
Propriedades da sequência: A1, A2, . . . , An
1 ā) Os termos qk obtidos na sequência (7.3), são os coeficientes do polinômio característico (7.1), isto é:
qk = pk, k = 1, 2, . . . , n .
Prova: A prova será feita por indução.
a) Desde que A = A1, segue que: q1 = tr(A1) = tr(A) = p1.
b) Suponhamos que: qi = pi, i = 1, 2, . . . , k − 1.
c) Provemos que: qk = pk. Por (7.3), temos:
A1 = A ,
A2 = AB1 = A (A1 − q1I) = A (A − q1I) = A 2 − q1A ,
A3 = AB2 = A (A2 − q2I) = A A 2 − q1A − q2I
.
= A 3 − q1A 2 − q2A ,
Ak = ABk−1 = A (Ak−1 − qk−1I)
= A k − q1A k−1 − q2A k−2 − . . . − qk−1A .
Desde que qi = pi, i = 1, 2, . . . , k − 1, (hipótese de indução), obtemos:
Ak = A k − p1A k−1 − p2A k−2 − . . . − pk−1A . (7.4)
Aplicando traço em ambos os membros da igualdade (7.4), segue que:
tr(Ak) = tr A k − p1tr A k−1 − p2tr A k−2 − . . . − pk−1tr(A) .
Agora, desde que si = tr(Ai ), i = 1, 2, . . . , k, e, por (7.3) qk = tr(Ak)
, obtemos:
k
Comparando (7.5) com (7.2), obtemos:
o que completa a prova.
kqk = sk − p1sk−1 − p2sk−2 − . . . − pk−2s2 − pk−1s1 . (7.5)
2 ā) Se A é uma matriz de ordem n, então:
qk = pk ,
Bn = θ (matriz nula) .
Prova: Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, (Teorema 1.8), temos:
A n − p1 A n−1 − . . . − pn−1 A − pn I = θ .
Mas, por (7.3), e usando a 1 āpropriedade, segue que:
Bn = An − pnI .
Fazendo k = n em (7.4) e substituindo o valor de An, na expressão anterior, obtemos:
Bn = A n − p1A n−1 − . . . − pn−2A 2 − pn−1A − pnI = θ .