Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 2. ANÁLISE DE ARREDONDAMENTO EM PONTO FLUTUANTE 48
Subtraindo (2.4) de (2.5), segue que:
Aplicando essa fórmula repetidamente, obtemos:
e portanto
rn = −n rn−1 , n = 1, 2, . . . .
rn = −nrn−1 = (−n) 2 rn−2 = . . . = (−n) n r0 ,
rn = (−n) n ɛ0 ,
desde que r0 = ɛ0. Assim, a cada passo do cálculo, o erro cresce do fator n. Surge então a pergunta: Como
encontrar o valor exato de In? Para este caso em particular, observe que: uma relação de recorrência
ser instável na direção crescente de n não impede de ser estável na direção decrescente de n. Assim,
resolvendo (2.4), para In−1, obtemos:
In−1 =
(1 − In)
n
. (2.6)
Se usada nessa forma, a relação também precisa de um valor inicial. Entretanto, não é fácil encontrar
esse valor pois todo In onde n > 0 é desconhecido. Mas sabemos que In → 0 quando n → ∞. Assim,
tomando I20 = 0 e usando (2.6) para n = 20, 19, 18, . . ., obtemos: I7 = 0.1123835 onde agora todos os
dígitos estão corretos. É interessante notar que começando com I7 = 0, obtemos I0 = 0.6320. Isto ocorre
porque neste caso o erro está sendo reduzido substancialmente a cada passo, isto é, a cada passo o erro
decresce do fator 1 n .
2.5.4 Mal Condicionamento
A maioria dos processos numéricos seguem a seguinte linha geral:
• Dados são fornecidos,
• Os dados são processados de acordo com um plano pré-estabelecido (algoritmo),
• Resultados são produzidos.
Analisaremos aqui problemas onde os resultados dependem continuamente dos dados. Tais problemas
são chamados de problema bem posto. Problemas que não dependem continuamente dos dados são
chamados de problema mal posto.
Vamos então analisar como pertubações nos dados podem ou não influenciar os resultados.
Exemplo 2.18 - Resolver o sistema:
x + y = 2
x + 1.01y = 2.01
Solução: A solução desse sistema pode ser facilmente obtida, por exemplo, por substituição. Fazendo
isso, obtemos: x = y = 1. Se o número 2.01, da segunda equação é mudado para 2.02, obtemos que a
solução do sistema é agora x=0 e y=2. Portanto uma pequena mudança nos dados produz uma grande
mudança no resultado. Vamos então interpretar geometricamente o resultado. A solução do sistema é
o ponto de interseção das duas retas: y = 2-x e y = (2.01 -x)/1.01. Essas retas estão desenhadas na
Figura 2.1.
É claro que o ponto de interseção é muito sensível a pequenas pertubações em cada uma
dessas retas desde que elas são praticamente paralelas. De fato, se o coeficiente de y na segunda equação
é 1.00, as duas retas são exatamente paralelas e o sistema não tem solução. Isto é típico de problemas
mal condicionados. Eles são também chamados de problemas críticos, pois ou possuem infinitas soluções
ou não possuem nenhuma.