Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 80
desse processo conduz ao Método de Newton para Sistemas não Lineares.
Assim, o método de Newton para sistemas não lineares é definido por:
⎧
fgy − gfy
⎪⎨ xk+1 = xk −
J(f, g)
(xk, yk)
⎪⎩
gfx − fgx
yk+1 = yk −
J(f, g)
com J(f, g) = fxgy − fygx.
Observações:
1) Quando essa iteração converge, a convergência é quadrática.
(xk, yk)
2) O método de Newton converge sob as seguintes condições suficientes:
(3.14)
a) f, g e suas derivadas parciais até segunda ordem sejam contínuas e limitadas numa vizinhança
V contendo (¯x, ¯y).
b) O Jacobiano J(f, g) não se anula em V .
c) A aproximação inicial (x0, y0) seja escolhida suficientemente próxima da raiz (¯x, ¯y).
3) O método de Newton pode ser, obviamente, aplicado a um sistema de n equações a n incógnitas.
Em cada etapa da iteração teremos, então, que calcular n 2 funções derivadas parciais e n funções.
Isso representa um considerável custo computacional. Novamente, a menos que seja disponível uma
informação, a priori, a respeito da localização da raiz desejada, há, claramente, a possibilidade da
iteração não convergir ou que ela convirja para uma outra raiz. A solução de um sistema de n
equações, sendo n um valor elevado, torna-se muito difícil mesmo com o uso de computadores.
Exemplo 3.13 - Determinar uma raiz do sistema:
x 2 + y 2 = 2
x 2 − y 2 = 1
com precisão de 10 −3 , usando o método de Newton.
Solução: Temos: f(x, y) = x 2 +y 2 −2 = 0 e g(x, y) = x 2 −y 2 −1 = 0. Para obter o valor inicial (x0, y0),
traçamos no mesmo gráfico as duas equações dadas. Para o sistema dado, obtemos a Figura 3.15:
1
¯y
.5
✻
Figura 3.15
.5
¯x
✲
1.5