Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 476
13.12 Exercícios
13.1 Mostre pelo método de separação de variáveis que a solução do problema (13.18) é dada pela
fórmula (13.19).
13.2 Seja a equação
ut = uxx 0 < x < 1
com condições de fronteira u(0, t) = u(1, t) = 0, para t > 0 e com a condição inicial:
1
2x, para 0 ≤ x ≤
u(x, 0) =
2
≤ x ≤ 1
cuja solução exata é:
e
u(x, t) = 8
π 2
2 − 2x, para 1
2
∞
( sen ( 1
2 nπ))( sen (nπx)) exp(−n2π 2 t).
n=1
Faça um programa de computador para resolver esse problema usando o método explícito com h = 0.05
a. k = 5
11 h2
b. k = 5
9 h2 .
Faça um gráfico da solução numérica e da solução exata para cada um dos casos acima, plotando U
e u contra x para vários valores de t, por exemplo, t = 0.05, 0.1, 0.15, . . . , 0.5. Observe atentamente os
gráficos dos dois casos. Note que a solução inicial tem uma descontinuidade na primeira derivada no
ponto x = 1/2, e esta descontinuidade é suavizada imediatamente quando entramos no domínio. Esta é
uma propriedade geral das equações parabólicas e elípticas. Obtenha pelo método de separação de variáveis
a solução exata desse problema.
13.3 Mostre que a equação de diferenças
Ui,j+1 = Ui,j + σ(Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j)
admite uma solução separável Ui,j = XiTj. Determine as equações para Xi e Tj. Obtenha soluções para
essas equações substituindo Xi = exp(iλ) e determinando dois valores para λ, que chamaremos λ1 e λ2
e a solução Xi pode ser então determinada por superposição como:
com C1 e C2 constantes arbitrárias.
Xi = C1 exp(iλ1) + C2 exp(iλ2)
13.4 Mostre que escolhendo σ = 1
6 em (13.17) e levando em consideração a expressão (13.21) obtemos
um método que é condicionalmente consistente de ordem 2 com a equação do calor ut = auxx.
13.5 Mostre que o método explícito
Ui,j+1 = 2σ
3 Ui+1,j + (1 − 2σ)Ui,j + 4σ
3 Ui−1,j
não é consistente com a equação ut = auxx. Encontre a equação para a qual esse método é consistente.