Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

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CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 231 então a solução geral do sistema é dado por: Y (t) = n k=1 cke λkt vk , onde: ck são constantes arbitrárias, λk são os auto-valores de A e vk seus correspondentes auto-vetores. Considere os sistemas: (I) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ dy1 = 10y1 dx dy2 dx = y1 − 3y2 − 7y3 dy3 dx = 2y2 + 6y3 , (II) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ dy1 dx = −10y1 − 7y2 + 7y3 dy2 dx = 5y1 + 5y2 − 4y3 dy3 dx = −7y1 − 5y2 + 6y3 Determine a solução geral destes sistemas, usando um método numérico à sua escolha para determinar todos os auto-valores e auto-vetores. Cuidado!! O sistema (II) possui auto-valores iguais em módulo. 7.3 - A curvatura de uma coluna delgada sujeita a uma carga P pode ser modelada por: d2y M = dx2 EI , (7.18) onde d2 y dx 2 especifica a curvatura, M é o momento de curvatura, E é o módulo de elasticidade, e I é o momento de inércia da seção transversal sobre o eixo neutro. Considerando o corpo livre na Figura 7.4-b é claro que o momento de curvatura em x é M = −P y. Substituindo esse valor na equação (7.18) resulta: onde (a) d 2 y dx 2 + p2 y = 0 , (7.19) p 2 = P EI P P y (0, 0) ❵ ❄ ✲ ❄❵ y (L, 0) P ′ ❵ ✻ x ❄ x Figura 7.4 . (7.20) ✻ M ✕ P ′ (b) ,
CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 232 Para o sistema na Figura 7.4, sujeita às condições de contorno y(0) = y(L) = 0, a solução geral da equação (7.19) é: y = A sen px + B cos px , onde A e B são constantes arbitrárias que devem ser obtidas usando-se as condições de contorno. Mostre que de y(0) = 0 obtêm-se B = 0 e de y(L) = 0 obtêm-se A sen pL = 0. Mas desde que A = 0 representa a solução trivial, concluímos que sen pL = 0. Assim, para que esta última igualdade seja válida devemos ter: pL = nπ , n = 1, 2, . . . . (7.21) Portanto, existe um número infinito de valores que satisfazem as condições de contorno. A equação (7.21) pode ser resolvida para: p = nπ , n = 1, 2, 3, . . . , (7.22) L os quais são os auto-valores para a coluna. Cada auto-valor corresponde ao modo nos quais a coluna curva-se. Combinando as equações (7.20) e (7.22), segue que: P = n2 π 2 EI L 2 , n = 1, 2, 3, . . . . Isto pode ser entendido como uma deformação da carga porque elas representam os níveis nos quais as colunas movimentam-se em cada deformação sucessiva. Na prática, em geral, o auto-valor correspondente a n = 1 é o de interesse porque a quebra usualmente ocorre quando a primeira coluna se deforma. Assim, a carga crítica pode ser definida como: Pcrit. = π2EI L2 . Uma carga sobre uma coluna de madeira possui as seguintes características: E = 10 1 0 P a, I = 1.25×10 −5 m 4 , e L = 3m. Determine o oito primeiros auto-valores, isto é, os auto-valores correspondente a n = 1, 2 . . . , 8 e suas correspondentes deformações das cargas. Qual o valor obtido para a carga crítica? 7.4 - No problema 7.3 foi razoavelmente fácil obter os auto-valores pois era conhecida a expressão analítica da solução, o que em geral não acontece na prática. Assim, podemos obter os auto-valores de (7.19), substituindo a derivada segunda pela diferença dividida central, isto é, substituindo d2 y dx 2 por: Fazendo isso, podemos escrever (7.20) como: ou ainda: yi+1 − 2yi + yi−! h 2 yi+1 − 2yi + yi−! h 2 + p 2 yi = 0 , yi+1 − (2 − h 2 p 2 )yi + yi−! = 0 . Escrevendo esta equação para uma série de nós ao longo do eixo da coluna, obtêm-se um sistema de equações homogêneas. Por exemplo, se a coluna é dividida em cinco segmentos (isto é, quatro nós interiores), o resultado é: ⎛ ⎜ ⎝ (2 − h 2 p 2 ) −1 −1 (2 − h 2 p 2 ) −1 −1 (2 − h 2 p 2 ) −1 −1 (2 − h 2 p 2 ) . ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ y1 y2 y3 y4 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 .
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Universidade de São Paulo Institut
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4 Solução de Sistemas Lineares: M
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12.3.3 Ordem e Constante do Erro .
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Referências Bibliográficas [1] AC
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