Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 450
cuja mo̷l’ecula computacional é:
Figura 13.5: Molécula computacional do método de Crank-Nicolson.
Podemos observar que estas equações formam o seguinte sistema linear tridiagonal
AUj+1 = BUj + cj que é diagonalmente dominante:
⎛
2 + 2σ
⎜ −σ
⎜ .
⎝ 0
−σ
2 + 2σ
. . .
0
−σ
−σ
. . .
. . .
2 + 2σ
0
0
.
−σ
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 . . . 0 −σ 2 + 2σ
⎛
2 − 2σ)
⎜ σ
⎜ .
⎜ .
⎝ 0
σ
2 − 2σ
. . .
0
σ
σ
. . .
. . .
2 − 2σ
0
0
.
.
σ
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
U1,j
U2,j
.
0 . . . 0 σ 2 − 2σ
ou utilizando notação vetorial podemos escrever:
AUj+1 = BUj + cj
UN−2,j
UN−1,j
U1,j+1
U2,j+1
.
UN−2,j+1
UN−1,j+1
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎞
⎟ =
⎟
⎠
σU0,j
0
.
0
σUN,j
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
(13.40)
Para se obter a solução em cada estágio, é preciso resolver um sistema tridiagonal. Note que, sendo
A diagonalmente dominante, o problema discreto tem solução única.
Erro de Truncamento Local
Analogamente às definições de erro de truncamento local dos demais métodos definimos τi,j por:
ui,j+1 − ui,j
k
= α
2h 2 (ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j + ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1) + τi,j .
Expandindo em série de Taylor em torno do ponto (xi, t j+ 1
2 k), obtemos:
Logo,
ui,j+1 − ui,j
k
= ut +
2 k 1
2 6 uttt + O(k 4 ) ,
ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j = h 2 uxx + h4
12 uxxxx + O(h 6 ) ,
ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1 = h 2 uxx + h4
12 uxxxx
h2k2 8 uxxtt + h4k2 96 uxxxxtt + O(h 6 ) .
τi,j = k2
24 uttt − αh2
12 uxxxx − αk2
8 uxxtt − a h2 k 2
96 uxxxxtt + O(h 4 ) + O(k 4 ) = O(h 2 + k 2 ) .