Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 116
Observe que a convenção usual de k j=1 ≡ 0 se k < 1, deve ser utilizada aqui.
Aplicação à Solução de Sistemas Lineares
Vejamos agora como podemos aplicar a decomposição LU para obtermos a solução de sistemas lineares.
Seja o sistema Ax = b de ordem n determinado, onde A satisfaz as condições da decomposição LU.
Então o sistema Ax = b pode ser escrito como:
LUx = b .
Assim transformamos o sistema linear Ax = b no sistema equivalente LUx = b cuja solução é facilmente
obtida. De fato: fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b. Resolvendo o sistema
triangular inferior Ly = b, obtemos o vetor y. Substituindo o valor de y no sistema Ux = y obtemos um
sistema triangular superior cuja solução é o vetor x que procuramos.
Assim, a aplicação da decomposição LU na resolução de sistemas lineares requer a solução de dois
sistemas triangulares.
Exemplo 4.2 - Seja:
A =
⎛
⎝
5 2 1
3 1 4
1 1 3
⎞
⎠ .
a) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição LU.
b) Decompor A em LU.
c) Através da decomposição LU, calcular o determinante de A.
d) Resolver o sistema Ax = b, onde b = (0, −7, −5) t , usando a decomposição LU.
Solução:
a) Para que A satisfaça as condições da decomposição LU devemos ter: det(A1) = 0 e det(A2) = 0.
Temos que : det(A1) = 5 = 0 e det(A2) = −1 = 0. Logo A satisfaz as condições do teorema.
b) Usando as fórmulas (4.7), obtemos:
Para a 1 ā linha de U:
Para a 1 ā coluna de L:
Para a 2 ā linha de U:
u1j = a1j , j = 1, 2, 3 ⇒ u11 = 5 , u12 = 2 , u13 = 1 .
ℓi1 = ai1
u11
, i = 2, 3 ⇒ ℓ21 = 3
5 , ℓ31 = 1
5 .
u2j = a2j − ℓ21 u1j, j = 2, 3 ⇒
u22 = 1 − 3
× 2 = −1
5 5 , u23 = 4 − 3 17
× 1 =
5 5 .