Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 452
onde foi utlizado a discretização da derivada por diferenças centrais. A equação (13.43) pode ser reescrita
na forma:
U−1,j = U1,j − 2hf(tj) , (13.44)
e portanto o valor de U−1,j pode ser substituído por (13.44) na expressão do método numérico sem
maiores problemas. Devemos no entanto observar que a notação vetorial introduzida em (13.28) deve ser
modificada para refletir o fato de que U0,j e UN,j são agora incógnitas, assim:
Uj = (U0,j, U1,j, . . . , UN,j) T ,
e portanto um vetor de N + 1 componentes. Certamente a matriz A da equação (13.29) deve ser de
ordem (N + 1) × (N + 1) e ter sua primeira e última linhas modificadas. Assim a equação equivalente a
(13.29) para o caso de condições de fronteira com derivadas é:
Uj+1 = AUj + cj ,
onde A é a matriz não simétrica:
⎛
1 − 2σ
⎜ σ
⎜
A = ⎜ .
⎝ 0
2σ
1 − 2σ
. . .
0
σ
σ
. . .
. . .
1 − 2σ
0
0
.
σ
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
(13.45)
0 . . . 0 2σ 1 − 2σ
e cj é um vetor de (N + 1) componentes contendo informações das condições de fronteira dado por:
cj = (−2hf(jk), 0, . . . , 0, −2hg(jk)) T .
Já para o caso de um método implícito teremos um pouco mais de dificuldades. Consideremos o
método de Crank-Nicolson (13.39) que pode ser reescrito na forma:
−σUi+1,j+1 + (2 + 2σ)Ui,j+1 − σUi−1,j+1 = σUi+1,j + (2 − 2σ)Ui,j + σUi−1,j . (13.46)
Novamente quando i = 0 ou i = N teremos o aparecimento dos termos U−1,j+1, U−1,j, UN+1,j+1 e
UN+1,j que não fazem parte da malha e portanto são pontos fantasmas. Da mesma maneira que fizemos
para o caso explícito em (13.44) eliminamos esses valores da equação (13.46), para obter a equação
matricial:
AUj+1 = BUj + cj ,
onde as matrizes A e B são de ordem N + 1 e dadas por:
⎛
2 + 2σ
⎜ −σ
⎜
A = ⎜ .
⎝ 0
−2σ
2 + 2σ
. . .
0
−σ
−σ
. . .
. . .
2 + 2σ
0
0
.
−σ
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
0 . . . 0 −2σ 2 + 2σ
⎛
2 − 2σ)
⎜ σ
⎜
B = ⎜ .
⎝ 0
2σ
2 − 2σ
. . .
0
σ
σ
. . .
. . .
2 − 2σ
0
0
.
σ
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
0 . . . 0 2σ 2 − 2σ
e o vetor independente cj = (2hσ(f(tj+1) − f(tj)), 0, . . . , 0, 2hσ(g(tj+1) − g(tj))) T .
Observações: