Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 442
Assim:
Logo, eliminando os termos comuns obtem-se:
e λ Ui,j = (1 − 2σ)Ui,j + σ(e −Iβ Ui,j + e Iβ Ui,j) .
e λ = (1 − 2σ) + σ(e −Iβ + e Iβ )
= (1 − 2σ) + 2σ cos β
= 1 + 2σ(cos β − 1)
2 β
= 1 − 4σ sen
2 .
Como σ ≥ 0 então eλ 2 β
= 1 − 4σ sen 2 ≤ 1. Assim, se eλ ≥ 0, de (13.25) a solução da equação (13.17)
decairá uniformente quando j → ∞. No entanto eλ pode ser negativo, uma vez que λ é complexo, e
portanto teremos mais duas situações a considerar: −1 ≤ eλ < 0 a solução terá amplitude decrescente e
sinal oscilante quando j → ∞. Finalmente, se eλ < −1 a solução oscila com amplitude crescente quando
j → ∞. Neste último caso (13.17) é instável, enquanto que no caso anterior ela será estável. Assim,
resumindo, para estabilidade será exigido que:
|e λ | ≤ 1 .
Como e λ < 1 sempre, precisamos ainda impor −1 ≤ e λ , ou seja, −1 ≤ 1 − 4σ sen 2 β 2 .
Portanto:
σ ≤
1
1 − cos β
∀β, ou seja σ ≤ 1
2
. (13.26)
Note que a condição (13.26) obtida pelo critério de von Neumann para estabilidade do método explícito
é exatamente aquela que obtemos na seção anterior impondo que 1 − 2σ ≥ 0.
Com a imposição do limitante sobre σ para estabilidade, o método explícito geralmente produz aproximações
satisfatórias. Porém, σ < 1 2
é uma condição muito restritiva para o tamanho do passo na direção
t, pois esta condição significa que k < h2
2α
, e o esforço computacional poderá ser grande se desejarmos
calcular a solução para um tempo T razoavelmente longo.
Estabilidade - Critério da Matriz
Vamos iniciar esta seção observando que a discretização explícita da equação (13.14) e respectivas
condições iniciais e de fronteira fornece a seguinte equação de diferenças:
Ui,j+1 = σUi−1,j + (1 − 2σ)Ui,j + σUi−1,j, i = 1, 2, . . . N − 1, j = 0, 1, . . . ,
Ui,0 = ψ(ih), i = 0, 1, . . . N ,
U0,j = f(jk), j = 1, 2, . . . ,
UN,j = g(jk), j = 1, 2, . . . .
(13.27)