Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

Capítulo 13
Solução Numérica de Equações
Diferenciais Parciais
13.1 Introdução
Um modelo matemático é uma representação, idealizada e muitas vezes simplificada, da natureza.
Quando derivado de maneira criteriosa, sua solução simula propriedades dos processos naturais envolvidos,
tais como velocidade e pressão no escoamento de um fluido, temperatura na previsão do tempo,
trajetória de um satélite artificial, etc... Assim, as soluções das equações de um modelo, devem apresentar
um comportamento compatível com as propriedades do problema modelado, não sendo possível, na maioria
dos casos, justificar a utilização de hipóteses simplificadoras (tal como linearidade) que permitam a
determinação de uma solução exata. Daí a necessidade da procura de soluções numéricas, ou aproximadas.
A importância da modelagem matemática cresceu muito nos ultimos anos porque a análise detalhada
de um modelo e suas propriedades permite um melhor entendimento do evento modelado e, mais do que
isso, permite a simulação de mudanças nos parâmetros do modelo e a respectiva análise da respectiva
resposta, que não seriam possíveis na situação real. Por exemplo, no projeto de um carro, alterações na
forma resultam em modificações no comportamento aerodinâmico, de cuja análise obtem-se um indicador
dos ganhos e/ou perdas em performance; a localização ideal da asa de um avião em relação ao casco pode
ser obtida pela resposta à simulação matemática das equações da aerodinâmica, e até a melhor política
de vacinação contra doenças transmissíveis, tipo sarampo, podem ser decididos com base em modelos
matemáticos. A economia de tempo gerada por esta maneira de projetar um produto, ou tomar decisões,
é clara, diminuindo sensivelmente o número de protótipos ou modelos em tamanho reduzido a serem
construídos e ensaiados. No projeto de equipamentos complexos, o mínimo que a simulação através da
modelagem matemática coopera é na eliminação de casos triviais ou impossíveis, fornecendo um guia
seguro para a seleção dos casos a serem ensaiados em modelos de escala reduzida ou para a construção
de protótipos.
Como virtualmente todas as áreas em matemática aplicada o principal objetivo das equaç˜es diferenciais
é o de modelar matematicamente eventos da natureza nas mais diversas áreas de aplicação. Um
modelo com várias variáveis independentes envolve necessariamente derivadas com respeito a cada umas
dessas variáveis ou derivadas parciais, sendo portanto denominado uma equação diferencial parcial ou um
sistema de equações diferenciais parciais.
Resumindo as idéias apresentadas acima o processo de simulação é constituído de três partes nitida-
429