Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 199
usando (7.3), obtemos:
A1 = A =
Usando (7.1), segue que:
⎛
⎝
1 1 −1
⎞
0 0 1
−1 1 0
⎛
B1 = A1 − p1I ⇒ B1 =
⎛
A2 = AB1 ⇒ A2 = ⎝
⎠ , p1 = tr(A1) ⇒ p1 = 1 ,
0 1 −1
0 −1 1
⎞
⎝ ⎠ ,
1
−1
−1
1 −1
⎞
1
−1 1 −1 ⎠ ,
0 −2 2
p2 = tr(A2)
2
⇒ p2 = 4
2 ⇒ p2
B2 =
= 2 ,
⎛
−1 −1
A2 − p2I ⇒ B2 = ⎝ −1 −1
⎞
1
−1 ⎠ ,
A3 = AB2 ⇒ A3 =
⎛
−2
⎝ 0
0 −2
0
−2
0
⎞
0
0 ⎠ ,
0 0 −2
p3 = tr(A3)
3
⇒ p3 = −6
3 ⇒ p3 = −2 ,
B3 = A3 − p3I ⇒ B3 = θ .
P (λ) = (−1) 3 (λ 3 − p1 λ 2 − p2λ − p3)
= (−1) 3 (λ 3 − λ 2 + 2λ − 2)
= −λ 3 + 2λ 2 − 2λ + 2 .
Para determinar os auto-valores de A basta determinar os zeros de P (λ). Já fizemos esses cálculos no
exemplo 7.2, e obtivemos: λ1 = 1, λ2 = − √ 2 e λ3 = √ 2.
b) Determinemos agora os auto-vetores correspondentes a esses auto-valores.
b.1) Para λ1 = 1, seja e = (1, 0, 0) t . Assim:
u0 = e ⇒ u0 =
⎛
⎝ 1
0
⎞
⎠ ,
u1 = λ1u0 + b1
0 ⎛
⇒ u1 = 1 ⎝ 1
⎞ ⎛
0 ⎠ + ⎝
0
0
0
⎞ ⎛
⎠ ⇒ u1 = ⎝
−1
1
0
−1
u2 = λ1u1 + b2 ⇒ u2 = 1
⎛
⎝ 1
0
−1
⎞ ⎛
⎠ + ⎝ −1
⎞ ⎛
−1 ⎠ ⇒ u2 = ⎝
0
0
−1
−1
Logo u = (0, −1, −1) t é um auto-vetor correspondente ao auto-valor λ1 = 1.
⎞
⎠ ,
⎞
⎠ .