Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 478
13.10 Mostre que se para a equação de diferenças Uj+1 = AUj +cj os autovetores de A são linearmente
independentes e se seus autovalores λi satisfazem |λi| ≤ 1 + O(k), ∀i, então essa equação será estável.
13.11 Seja A a matriz tridiagonal de ordem N
⎛
a
⎜
⎜c
⎜
A = ⎜
⎝
b
a
c
b
a b
. ..
c a
⎞
⎟ .
⎟
b⎠
c a
Mostre que os autovalores e autovetores dessa matriz são: (i = 1, 2, . . . , N)
vi =
( c 1
) 2 sen (
b
iπ
N + 1
Sugestão: Ver [?] páginas 113-115.
λi = a + 2b
2
), (c ) 2 sen (
b 2iπ
N + 1
c
1
2
b
iπ
cos(
N + 1 ),
3
), (c ) 2 sen (
b 3iπ
N + 1
13.12 Mostre que os autovalores e autovetores da matriz (13.30) são dados por:
λi = 1 − 4σ sen 2 ( iπ
2N ), vi
= sen ( iπ
2N
), sen (2iπ
2N
13.13 Mostre que os autovalores da matriz do método implícito (13.37) são:
λi = 1 + 4σ sen 2 ( iπ
2N )
N
), · · · , (c ) 2 sen (
b Niπ
N + 1 )
T .
T − 1)iπ
), · · · , sen ((N ) .
2N
e portanto os autovalores de A−1 são 1 que são menores que 1 para todo valor de σ implicando que esse
λi
método é incondicionalmente estável, como já haviamos concluído.
13.14 Prove a igualdade:
∂2u 1
=
∂x2 h2
δ 2 x − 1
12 δ4 x + 1
90 δ6
x + . . . u.
Utilize-a para obter a seguinte discretização da equação do calor:
Ui,j+1 − Ui,j
k
= 1
∂ 2u 2 ∂x2 2 ∂ u
+
i,j+1 ∂y2 =
i,j
1
2h2
δ 2 x − 1
12 δ4 x + 1
90 δ6
x + . . .
(Ui,j+1 + Ui,j) (13.95)
Aplicando o operador (1 + 1
12 δ2 x) a ambos os membros de (13.95) obtemos um método numérico de quarta
ordem no espaço:
(1 − 6σ)Ui−1,j+1 + (10 + 12σ)Ui,j+1 + (1 − 6σ)Ui+1,j+1 =
= (1 + 6σ)Ui−1,j + (10 − 12σ)Ui,j + (1 + 6σ)Ui+1,j
Escreva o método acima na forma matricial e utilize o critério da matriz para estudar sua estabilidade.