Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 58
✻
−2 ¯x −1
6
4
2
Figura 3.5
É claro observando-se a Figura 3.5 que as duas curvas se interceptam apenas duas vezes. Portanto
a equação dada tem precisamente duas raízes. Uma raiz ¯x no intervalo (−2, −1) e outra no intervalo (0, 1).
Este último exemplo ilustra bem a razão da utilização de métodos númericos para determinar a solução
de equações não lineares. Ao contrário dos exemplos anteriores, onde foi razoavelmente fácil determinar
as raízes da função dada, aqui fica difícil dizer com exatidão qual é o valor de ¯x tal que f(¯x) = 0.
Para descrevermos um método numérico extremamente simples, e de fácil compreensão, suponha que
f(x) seja uma função contínua em [a, b]. Pelo Teorema 3.1, temos que se f(x) em x = a e x = b tem
sinais opostos, então f(x) tem no mínimo um zero em [a, b]. Esse resultado fornece um caminho simples,
mas efetivo, para encontrar a localização aproximada dos zeros da f. Considere novamente a equação do
exemplo 3.5, isto é, f(x) = (x + 1) 2 e (x2 −2) − 1. Valores de f(x) para x = −3, −2, . . . , 3 estão contidos
na tabela a seguir:
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 4385.5 6.4 −1.0 −0.9 0.5 65.5 17545.1
A função portanto possui zeros no intervalo [−2, −1] e [0, 1]. (Note que o mesmo resultado foi obtido
graficamente). Estamos agora em condições de descrever um método numérico, conhecido como Método
da Bissecção, o qual reduz o comprimento do intervalo que contém a raiz, de maneira sistemática.
Considere o intervalo [a, b] para o qual f(a) × f(b) < 0. No método da bissecção calculamos o valor
da função f(x) no ponto médio: x1 = a + b
2
. Portanto existem três possiblidades. Primeiramente, ficaríamos
felizes, (embora seja quase impossível), se o valor da função calculado no ponto x1 fosse nulo,
isto é: f(x1) = 0. Nesse caso x1 é o zero da f e não precisamos fazer mais nada. Em segundo lugar, se
f(a) × f(x1) < 0, então f tem um zero entre a e x1. O processo pode ser repetido sobre o novo intervalo
[a, x1]. Finalmente, se f(a) × f(x1) > 0, segue que f(b) × f(x1) < 0, desde que é conhecido que f(a) e
f(b) têm sinais opostos. Portanto f tem um zero entre x1 e b, e o processo pode ser repetido com [x1, b].
A repetição do método é chamado iteração e as aproximações sucessivas são os termos iterados. Assim,
o método da bissecção pode ser descrito como:
Para k = 1, 2, . . ., faça:
xk =
⎧
⎨<
0 então b = xk ,
Se f(a) × f(xk)
⎩
> 0 então a = xk .
¯x 1
a + b
2
Uma interpretação geométrica do método da bissecção é dada na Figura 3.6.
y1
y2
.
2