Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 2. ANÁLISE DE ARREDONDAMENTO EM PONTO FLUTUANTE 45
Efetuando os cálculos obtemos: e −5.25 = 0.65974 × 10 −2 . Observe que, usando uma calculadora, o
resultado de e −5.25 é 0.52475 × 10 −2 . Essa diferença entre os valores obtidos ocorreu porque na expressão
acima temos parcelas da ordem de 10 2 que desprezam toda grandeza inferior a 10 −3 (ver Tabela 2.1),
enquanto que o resultado real de e −5.25 é constituido quase que exclusivamente de grandezas dessa ordem.
A pergunta que surge naturalmente é: podemos obter um resultado mais preciso? A resposta é sim. Basta
lembrar que e−5.25 = 1
5.25 e que:
e
e x =
∞
k=0
para todo número real x. Somando todas as parcelas da expressão de e5.25 , (desde que a expansão de
ex e e−x diferem apenas em termos de sinal), obtemos: e5.25 = 0.19057 × 103 , e assim e−5.25 = 1
5.25 =
e
1
0.19057 × 10 3 = 0.52475 × 10−2 .
Na Tabela 2.1, apresentamos os cálculos de e −5.25 , e −5.25 e 1
de ordem 10 k , k = 1, 0, −1, . . . , −6.
x k
k!
Tabela 2.1
10k e−5.25 5.25 e 1
e5.25 10 1 0.64130(10 0 ) 0.18907(10 3 ) 0.52890(10 −2 )
10 0 0.42990(10 −1 ) 0.19049(10 3 ) 0.52496(10 −2 )
10 −1 0.10393(10 −1 ) 0.19056(10 3 ) 0.52477(10 −2 )
10 −2 0.69105(10 −2 ) 0.19056(10 3 ) 0.52477(10 −2 )
10 −3 0.66183(10 −2 ) 0.19057(10 3 ) 0.52475(10 −2 )
10 −4 0.65929(10 −2 ) 0.19057(10 3 ) 0.52475(10 −2 )
10 −5 0.65971(10 −2 ) 0.19057(10 3 ) 0.52475(10 −2 )
10 −6 0.65974(10 −2 ) 0.19057(10 3 ) 0.52475(10 −2 )
Exemplo 2.16 - Deseja-se determinar numericamente o valor exato da integral:
yn =
para um valor fixo de a >> 1 e, n = 0, 1, . . . , 10.
1
0
x n
x + a
.
dx ,
5.25 , considerando a expansão até o termo
e
Solução: Sabemos que os números yn são positivos. Além disso, como para 0 < x < 1, x n+1 < x n , os
números yn formam uma sequência monotonicamente decrescente, e ainda:
e portanto podemos afirmar que:
1
0
xn 1 + a dx < yn
1
<
0
x n
a
dx ,
1
(n + 1)(1 + a) < yn
1
<
(n + 1)a .