Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 437
e usando agora diferenças progressivas no tempo para aproximar a derivada de primeira ordem produzimos
a aproximação:
ut(xi, tj) Ui,j+1 − Ui,j
= ∆tUi,j .
k
Substituindo essas aproximações em (13.2), obtemos a equação aproximada:
ou seja,
onde σ = kα/h 2 .
Ui,j+1 − Ui,j
k
Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j
= α
h2
, (13.16)
Ui,j+1 = Ui,j + σ(Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j), (13.17)
Assim, conhecidos os valores Ui−1,j, Ui,j e Ui+1,j calculamos Ui,j+1 explicitamente, sem qualquer
complicação suplementar (ver Figura 13.3):
Figura 13.3: Discretização e correspondente molécula computacional do método explícito.
A molécula computacional é uma tradução gráfica da fórmula (13.17), pois ela estabelece a relação
de dependência existente entre o valor no ponto (i, j + 1) e seus vizinhos. Note que no caso do método
explícito o ponto (i, j + 1) depende apenas dos pontos (i − 1, j), (i, j) e (i + 1, j) todos do nível anterior
e daí a palavra explícito. Observe também na Figura 13.3 que, como os valores sobre a linha j = 0 são
conhecidos (dados iniciais), é possível calcular os valores da linha j = 1 a menos do primeiro e do último,
mas esses dois valores são dados exatamente pelas condições de fronteira completando assim o cálculo
da linha j = 1. Tendo a linha j = 1 procedemos de maneira análoga para calcular a linha j = 2, . . ..
Ilustraremos essas idéias através de um exemplo.
Exemplo 13.1 - Calcule a primeira linha de soluções da equação a seguir , com σ = 1 6
cuja solução exata é:
ut = uxx , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 < t < T ,
u(x, 0) = x(1 − x) , 0 ≤ x ≤ 1 ,
u(0, t) = 0 , 0 < t < T ,
u(1, t) = 0 , 0 < t < T ,
u(x, t) = 8
π 3
∞
n
e k = 1
54 .
(13.18)
sen (2n + 1)πx
(2n + 1) 3 exp(−((2n + 1)π) 3 t) . (13.19)