Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 137
Quem resolveu o exercício 4.18 (e quem não resolveu deve fazê-lo), pode observar que a solução obtida
em b) é melhor que em a). No entanto, se no exercício 4.18 considerarmos um sistema de ordem 17,
veremos que mesmo o método com pivotamento não produz uma solução satisfatória. O problema é que
a matriz de Hilbert é uma matriz muito mal condicionada. O problema de condicionamento de matrizes
será visto mais adiante.
4.7 Refinamento da Solução
Como já dissemos anteriormente, os métodos exatos deveriam fornecer, com um número finito de
operações, a solução exata do sistema linear. Entretanto, devido aos erros de arredondamento obtemos,
em geral, soluções aproximadas. Veremos aqui como refinar uma solução obtida por processo numérico.
Consideremos o seguinte sistema linear de ordem n:
n
aij xj = bi ; i = 1, 2, . . . , n. (4.12)
j=1
Sejam x1, x2, . . . , xn, a solução exata de (4.12) e sejam ¯x1, ¯x2, . . . , ¯xn, uma aproximação da solução,
por exemplo, obtida pelo método de Eliminação de Gauss. Observe que estamos considerando este
método para poder descrever o processo de refinamento, mas o mesmo é válido para os demais métodos
apresentados neste capítulo.
Então, devemos ter:
xj = ¯xj + yj ; j = 1, 2, . . . , n, (4.13)
onde yj, j = 1, 2, . . . , n, são as correções que devem ser adicionadas aos valores ¯xj (obtidos pelo método
de Eliminação de Gauss), para fornecerem os valores corretos xj. Substituindo (4.13) em (4.12) obtemos:
Seja
n
aij (¯xj + yj) = bi ; i = 1, 2, . . . , n,
j=1
⇒
os resíduos. Obtemos então que:
Observações:
n
aij yj = bi −
j=1
ri = bi −
n
aij ¯xj ; i = 1, 2, . . . , n.
j=1
n
aij ¯xj; i = 1, 2, . . . , n, (4.14)
j=1
n
aij yj = ri; i = 1, 2, . . . , n. (4.15)
j=1
i) De (4.15), notamos que as correções são obtidas resolvendo-se um sistema linear análogo ao (4.12),
com mesma matriz dos coeficientes e com o termo independente bi, i = 1, 2, . . . , n, substituído pelos
resíduos ri, i = 1, 2, . . . , n. Assim na solução de (4.15), devemos refazer apenas os cálculos referentes
ao novo termo independente. Portanto devemos, ao resolver (4.12), armazenar os multiplicadores
(ou seja as constantes a (k)
), nas posições supostamente zeradas.
ik /a(k)
kk