Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 445
e o erro de truncamento local será:
portanto de ordem 2.
τi,j = k2
6 uttt(xi, η) − h2
12 uxxxx(ξ, tj) = O(h 2 + k 2 ) ,
A análise da estabilidade pode ser feita utilizando o critério de von Neumann. Escrevemos então:
Ui,j = e λj e Iβi ,
que após substituição em (13.34) e várias simplificações resulta em:
2 β
λ = −4σ sen
2 ± (1 + 16σ2 sen
4 β 1
) 2 .
2
Teremos sempre uma raiz de módulo maior do que 1, portanto este método é incondicionalmente
instável.
Uma opção para solucionar o problema da instabilidade é substituir o termo Ui,j pela média dos termos
Ui,j+1 e Ui,j−1, na aproximação de uxx. Vamos obter dessa forma o Método de Du Fort-Frankel:
Ui,j+1 − Ui,j−1
2k
cujo erro de truncamento local é dado por:
τi,j = k2
6 uttt − h2
12 uxxxx − k2
= α Ui+1,j − (Ui,j+1 + Ui,j−1) + Ui−1,j
h 2
h2 αutt + O(h 4 + k 4 + k4
h
Agora, se k = rh temos que o método não será consistente, melhor dizendo, o método será consistente
com a equação:
ut = αuxx − αr 2 utt ,
que é uma equação hiperbólica!
Portanto, para obtermos um método consistente, é preciso restringir k em função de h, por exemplo
k = rh 2 e aí teremos um método consistente de ordem 2. O método de Du Fort-Frankel é pois condicionalmente
consistente e a condição imposta é bastante restritiva.
Analisando a estabilidade, vemos que, a partir de
obtem-se:
2 ) .
Ui,j+1 − Ui,j−1 = 2σ(Ui+1,j − (Ui,j+1 + Ui,j−1) + Ui−1,j) ,
(1 + 2σ)Ui,j+1 − 2σ(Ui+1,j + Ui−1,j) − (1 − 2σ)Ui,j−1 = 0 ,
,