Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 353
Logo:
1
−1
1
t + 3
dt
2
k=0
Ak f (tk)
= (0.4494 + 0.2649)(0.5556) + (0.3333)(0.8889)
= 0.6931 .
Portanto: 2
Observe que:
a) A solução exata é:
2
1
dx
x
1
dx
x
0.6931.
= ln 2 = 0.693147180 . . .
b) Usando quadratura de Gauss, com n = 4 e 9 casas decimais obtemos:
2
1
dx
x
que pode ser considerado um bom resultado.
11.4.2 Fórmula de Gauss-Tchebyshev
0.693147156 .
Para utilizar as fórmulas de Gauss-Tchebyshev a integral a ser calculada deve ter a função peso
ω(x) = √ 1 , a = −1 e b = 1. Novamente, caso o intervalo de integração não coincida com o
1 − x2 intervalo [−1, 1], devemos fazer uma mudança de variável. Daremos a seguir alguns exemplos.
Exemplo 11.12 - Usando quadratura de Gauss, calcular:
1
−1
sen x
√ 1 − x 2
Solução: Temos que: ω(x) = √ 1 , a = −1, b = 1 e f(x) = sen x. Portanto estamos nas condições
1 − x2 de utilizar a fórmula de Gauss-Tchebyshev. Como f(x) não é um polinômio não temos como obter o
número exato de pontos para calcular a integral. Assim, fixemos n = 2. Da tabela 2, com N = n + 1 = 3,
obtemos:
x0 = −0.8860 ,
dx .
x1 = 0 , A0 = A1 = A2 = (1)0.10472 = 1.0472 ,
x2 = 0.8860 .