Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 335
11.2.2 Erro nas Fórmulas de Newton-Cotes
Estudaremos nesta seção o termo do resto ou o erro que cometemos ao aproximar o valor de uma
integral usando as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, isto é, estudaremos o termo R(f) dado em
(11.1). Para tanto enunciaremos dois teoremas, cujas demonstrações aqui omitidas, podem ser encontradas,
por exemplo em [Jennings, 19..], e cujos resultados são extremamente importantes.
Teorema 11.2 - Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, . . . , n dividem [a, b] em um número ímpar de
intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a expressão do erro para
as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n ímpar, é dada por:
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
R(f) = hn+2 f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
n
0
u(u − 1) . . . (u − n) du ,
Teorema 11.3 - Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, . . . , n dividem [a, b] em um número par de
intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a expressão do erro para
as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n par, é dada por:
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
R(f) = hn+3 f (n+2) (ξ)
(n + 2)!
n
0
u − n
2
u(u − 1) . . . (u − n) du ,
Assim, o erro da fórmula trapezoidal sobre o intervalo [x0, x1] é obtido do Teorema 11.2, colocando
n = 1, isto é:
R(f) = h3 f ′′ (ξ)
2!
= h3 f ′′ (ξ)
2!
= h3 f ′′ (ξ)
2!
1
0
1
0
− 1
6
[u(u − 1)] du
[(u 2 − u)] du
Portanto o erro, ao aplicarmos uma vez a regra do trapézio, é dado por:
Assim, podemos escrever:
x1
x0
R(f) = − h3 f ′′ (ξ)
12
, x0 < ξ < x1 . (11.14)
f(x)dx = h
2 [h (x0) + f (x1)] − h3
12 f ′′ (ξ) ; x0 < ξ < x1 .