Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 112
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11 x1 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
. . . . . . . . . . . .
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
onde aii = 0, i = 1, 2, . . . , n. Assim a solução de um sistema triangular inferior é obtida por substituição
direta, isto é, determinamos o valor de x1 na primeira equação; substituímos esse valor na segunda
equação e determinamos o valor de x2 e assim por diante. Algebricamente podemos resolvê-lo pelas
fórmulas: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
x1 = b1
a11 ,
xi = bi − i−1
j=1 aij xj
aii
, i = 2, 3, . . . , n .
ii) Um sistema linear de ordem n é triangular superior se tiver forma:
⎧
a11 x1
⎪⎨
+ a12 x2
a22 x2
+
+
a13 x3
a23 x3
a33 x3
. . . + a1n xn
. . . + a2n xn
. . . + a3n xn
=
=
=
b1
b2
bn
⎪⎩
. . . . . .
.
ann xn = bn
onde aii = 0; i = 1, 2, . . . , n. Assim a solução de um sistema triangular superior é obtida por retrosubstituição,
isto é, determinamos o valor de xn na última equação; substituímos esse valor na penúltima
equação e determinamos o valor de xn−1 e assim por diante. Algebricamente podemos resolvê-lo pelas
fórmulas: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
xn = bn
ann ,
xi = bi − n
j=i+1 aij xj
aii
, i = n − 1, . . . , 1 .
Portanto, para resolvermos nosso problema falta explicar como um dado sistema linear de ordem
n pode ser transformado num outro equivalente cuja solução seja obtida resolvendo-se sistemas triangulares.
Como veremos, os métodos numéricos apresentados nesse capítulo explicam como fazer isso.
Antes, porém, daremos algumas definições que julgamos necessárias para um melhor entendimento de
tais métodos.
Definição 4.2 - Uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada C = (cij) tal que cij = 0 para
i < j. Do mesmo modo, se cij = 0 para i > j, C é uma matriz triangular superior.
Definição 4.3 Seja A uma matriz n × n da forma:
A =
⎛
a11
⎜ a21 ⎜
⎝ .
a12
a22
.
. . .
. . .
. ..
a1n
a2n
.
⎞
⎟ .
⎠
(4.6)
an1 an2 . . . ann
.
(4.4)
(4.5)