Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL302
onde ξ ∈ (x0, xn) .
Mas (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn) = 0 , pois os pontos tabelados são distintos, Assim comparando
(10.28) com (10.29), segue que:
Portanto:
f [x0, x1, . . . , xn, x] = f (n+1) (ξ)
(n + 1)!
; ξ ∈ (x0, xn) .
Pn(x) = f (x0) + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x2]
+ . . . + (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn−1) f [x0, x1, . . . , xn] = {. . .}1 ,
chama-se Forma de Newton do Polinômio de Interpolação ou Fórmula de Newton, e
Rn(x) = (x − x0) (x − x1) . . . (x − xn) f [x0, x1, . . . , xn, x] = {. . .}2 ,
chama-se termo do resto ou erro de truncamento.
Observe que o tratamento do erro de truncamento é, portanto, o mesmo da forma de Lagrange.
Exemplo 10.9 - Conhecendo-se a seguinte tabela:
x −1 0 3
f(x) 15 8 −1
calcular f(1), usando polinômio de interpolação de Newton.
Solução: Temos:
x0 = −1 , f0 = f (x0) = 15 ,
x1 = 0 , f1 = f (x1) = 8 ,
x2 = 3 , f2 = f (x2) = −1 ,
e portanto n = 2. Assim o polinômio de interpolaçào na forma de Newton é dado por::
P2(x) = f [x0] + (x − x0) f [x0, x1] + (x − x0) (x − x1) f [x0, x1, x2] .
Em primeiro lugar, construímos a tabela de diferenças divididas. Assim:
x f(x)
-1 15
-7
0 8 1
-3
3 -1