Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 430
mente distintas: A fase de modelagem, isto é a construção de um conjunto de equações matemáticas que
reputamos representar os fenômenos e os processos modelados. A segunda fase de solução desse conjunto
de equações, normalmente utilizando técnicas de discretização numérica e um computador e finalmente a
fase de interpretação dos resultados face às características do problema original. Esse é um processo complexo
que exige do profissional um conjunto bastante amplo de habilidades; exige um bom conhecimento
de engenharia para os ajustes finos do modelo desprezando complicações que não são fundamentais, um
bom conhecimento de métodos numéricos para selecionar aquele que melhor adapta-se ao problema e
finalmente um bom faro de detetive para analisar os resultados e interpretá-los à luz das restrições e
características do problema. Este capítulo trata exclusivamente da segunda fase desse processo.
É claro portanto que a solução do modelo matemático, ou seja, das equações representantes desse
modelo, é fundamental para a compreensão do fenômeno modelado. Este é o papel da discretização das
equações parciais, uma vez que, como já dissemos, uma solução analítica nem sempre está disponível;
ou ela tem uma forma não prática ou é impossível de ser obtida. Assim os métodos numéricos são
amplamente usados para a aproximação dessas soluções. A essência dos métodos numéricos está na representação
discreta (finita) do problema que, em geral, é originalmente modelado como um contínuo.
Essa discretização é que viabiliza o uso dos computadores no tratamento numérico das equações diferenciais.
O objetivo deste capítulo é apresentar uma introducao à solução numérica de equações diferenciais
parciais, através da discretização por diferenças finitas, enfatizando os principais conceitos com vistas às
aplicações práticas. Nos restringiremos aos casos das equações parabólicas e elípticas, por serem mais
adequados para a solução por diferenças finitas. No entanto, equações hiperbólicas também podem ser
resolvidas por diferenças finitas, mas nesse caso temos que ser mais cuidadosos devido ao aparecimento
de singularidades nas soluções.
Por razões práticas e talvez também didáticas é costume na literatura classificar as equações diferenciais
parciais em tres grupos distintos: Equações Parabólicas, Equações Elípticas e Equações Hiperbólicas.
No caso de equações de segunda ordem em duas dimensões da forma:
a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)yyy + d(x, y, ux, uy, u) = 0 , (13.1)
onde ux denota a derivada de u em relação à variàvel x e a, b, c e d são funções conhecidas, a classificação
é feita em função do sinal do discriminante: ∆ = b 2 − 4ac.
1. ∆ = 0 - Equação Parabólica,
2. ∆ < 0 - Equação Elíptica,
3. ∆ > 0 - Equação Hiperbólica.
É claro que, como, a, b e c dependem de x, y, ∆ também depende e portanto o sinal de ∆ pode variar
para diferentes valores de x e y, e nesse caso a equação muda de tipo no domínio de definição. De forma
que é perfeitamente possível que uma mesma equação seja de um, dois ou mais tipos dependendo da
região do domínio considerada.
A classificação acima pode em princípio parecer irrelevante, mas de fato ela é de extrema importância,
tanto do ponto de vista prático das aplicações quanto do ponto de vista da solução numérica. Na área
de aplicações temos, por exemplo, que as equações elípticas são adequadas para modelar problemas de
equilíbrio, as equações parabólicas problemas de difusão e as equações hiperbólicas problemas de convecção.
Portanto a classificação constitui-se em um teste da adequação do modelo ao problema. Já