Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL282
De (10.3), temos que: V (x0, x1) = x1 − x0. Em vista de (10.7) podemos escrever:
Por aplicações sucessivas de (10.7), obtemos:
V (x0, x1, x2) = (x1 − x0)(x2 − x0)(x2 − x1) .
V (x0, x1, . . . , xn) =
(xi − xj) .
Por hipótese, os pontos x0, x1, . . . , xn são distintos. Assim V = 0 e o sistema (10.2) tem uma e uma só
solução a0, a1, . . . , an.
Vimos, então, que dados n + 1 pontos distintos x0, x1, . . . , xn e n + 1 valores f(x0) = y0, f(x1) =
y1, . . . , f(xn) = yn de uma função y = f(x), existe um e um só polinômio Pn(x) de grau no máximo n
tal que
Pn (xk) = f (xk) , k = 0, 1, . . . , n .
Em vista disso, temos a seguinte definição.
Definição 10.1 - Chama-se polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto
de pontos distintos x0, x1, . . . , xn, ao polinômio de grau no máximo n que coincide com f(x) em
x0, x1, . . . , xn. Tal polinômio será designado por Pn(f; x) e, sempre que não causar confusão, simplesmente
por Pn(x).
Exemplo 10.1 - Dados os pares de pontos: (−1, 15); (0, 8); (3, −1), determinar o polinômio de interpolação
para a função definida por este conjunto de pares de pontos.
Solução: Temos:
i>j
x0 = −1 , y0 = 15 = f (x0) ,
x1 = 0 , e y1 = 8 = f (x1) ,
x2 = 3 , y2 = −1 = f (x2) .
Como n = 2, devemos determinar P2(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , tal que P2(xk) = yk, k = 0, 1, 2, isto é:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a0 + a1 x0 + a2 x 2 0 = y0
a0 + a1 x1 + a2 x 2 1 = y1
a0 + a1 x2 + a2 x 2 2 = y2
Substituindo xk e yk, k = 0, 1, 2, obtemos:
⎧
a0
⎪⎨
− a1 + a2 = 15
a0 = 8
cuja solução é: a0 = 8, a1 = −6 e a2 = 1. Assim:
⎪⎩
a0 + 3 a1 + 9 a2 = 9
P2(x) = 8 − 6 x + x 2 ,
é o polinômio de interpolação para a função dada pelos pares de pontos: (−1, 15); (0, 8); (3, −1)
Observações: