Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 10. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL295
Analogamente a (10.17), podemos escrever:
|R2(u)| ≤ |u(|u − 1)(u − 2)| h3
3!
max
0.2≤t≤0.4 |f ′′′ (t)| ,
onde: u = 0.5, h = 0.1 ⇒ h 3 = 0.001 e pelo exemplo 10.4, temos que:
Portanto:
Observações:
f ′′′ (t) = 27 e 3t (1 + t) ⇒ max
0.2≤t≤0.4 |f ′′′ (t)| = 125.4988 .
|R2(u)| ≤ |0.5| |(0.5 − 1)| |(0.5 − 2)| × 0.001
6
= 0.0078 8 × 10 −3
× (5.066) =
a) Se compararmos o valor obtido para f(0.25) com o valor exato veremos que o resultado está
com duas casas decimais corretas.
b) O polinômio de interpolação obtido neste exemplo está em função da variavél u. Assim não
é possível verificar se o valor do polinômio nos pontos tabelados coincide com a valor da função
nesses pontos. Entretanto como a função é crescente no intervalo [0.2, 0.4], o valor para f(0.25)
deve estar entre [0.3644, 0.7379].
Observe que quando se conhece a expressão analítica da função, o termo do resto, fornece uma estimativa
sobre o número de casas decimais corretas que podemos obter na aproximação. Além disso, a aplicação
da fórmula do termo do resto é útil quando queremos o resultado com uma precisão pré-fixada, como
mostraremos no exemplo a seguir.
Exemplo 10.7 - Determinar o número de pontos necessários para se obter xe 3x , x ∈ [0, 0.4] com duas
casas decimais corretas usando interpolação linear sobre pontos igualmente espaçados de h.
Solução: Por (??, temos que:
R1 ≤
(b − a)2
8 M1 = h2
8 M1 ≤ 0.5 × 10 −2 ,
desde que b−a = h, pois os pontos são igualmente espaçados, e o erro deve ser menor ou igual a 0.5×10 −2 ,
pois queremos o resultado com duas casas decimais corretas. Agora,
Portanto
M1 = max
0≤t≤0.4 |f ′′ (t)| = e 3t (6 + 9t) 31.873
h2 (31.873) ≤ 0.5 × 10−2
8
⇒ h 2 ≤ 0.001255
⇒ h ≤ 0.00354 .
Para determinar o número de pontos basta lembrar que o intervalo dado é: [0, 0.4], e portanto o número
de pontos será obtido fazendo:
0.4 − 0
h =
n
⇒ n =
0.4
11.299 = 12 .
0.0354
Observe que n assim obtido é o índice do último ponto, e como tal deve ser um inteiro.
número de pontos necessários é n + 1, ou seja, 13.
Portanto o