Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 212
Assim, de um modo geral, para uma matriz de ordem n o produto U t A, fornece uma matriz A ′ , onde:
⎧
⎨
e o produto A ′ U fornece uma matriz A ′′ , onde:
⎩
⎧
⎨
⎩
a ′ pj = apj cos ϕ − aqj sen ϕ , 1 ≤ j ≤ n ,
a ′ qj = apj sen ϕ + aqj cos ϕ , 1 ≤ j ≤ n ,
a ′ ij = aij , i = p, q , 1 ≤ j ≤ n .
a ′′
ip = a′ ip cos ϕ − a′ iq
sen ϕ , i ≤ i ≤ n ,
cos ϕ , i ≤ i ≤ n ,
, j = p, q , i ≤ i ≤ n .
a ′′
iq = a′ ip sen ϕ + a′ iq
a ′′
ij = a′ ij
Portanto, a matriz A ′′ tem a seguinte forma:
A ′′ =
⎛
. ..
⎜ . . .
⎜ . . .
⎜
⎝
.
○
.
○
.
. . .
. ..
. . .
.
○
.
○
.
⎞
⎟
. . . p ⎟ ,
. . . q ⎟
. ⎟
.. ⎠
p q
(7.11)
(7.12)
isto é, na matriz A ′′ apenas os elementos das linhas e colunas p e q serão alterados, sendo que os
elementos app, apq, aqp, aqq serão transformados duas vezes. Portanto A ′′ continua simétrica.
Vejamos agora as fórmulas que determinam a passagem de A → A ′′ , denominada Rotação de Jacobi
de um ângulo ϕ para os elementos da interseção. Temos, utilizando (7.12) e (7.11), que:
Portanto:
Logo:
Assim:
1) a ′′
pp = a ′ pp cos ϕ − a ′ pq sen ϕ
= (app cos ϕ − aqp sen ϕ) cos ϕ −
− (apq cos ϕ − aqq sen ϕ) sen ϕ .
a ′′
pp = app cos 2 ϕ − 2apq sen ϕ cos ϕ + aqq sen 2 ϕ . (7.13)
2) a ′′
qq = a ′ gp sen ϕ + a ′ qq cos ϕ
= (app sen ϕ + aqp cos ϕ) sen ϕ +
+ (apq sen ϕ − aqq cos ϕ) cos ϕ .
a ′′
qq = app sen 2 ϕ + 2apq sen ϕ cos ϕ + aqq cos 2 ϕ . (7.14)
3) a ′′
pq = a ′ pp sen ϕ + a ′ pq cos ϕ
= (app cos ϕ − aqp sen ϕ) sen ϕ +
+ (apq cos ϕ − aqq sen ϕ) cos ϕ .
a ′′
pq = a ′′
qp = (app − aqq)sen ϕ cos ϕ + apq (cos 2 ϕ − sen 2 ϕ) . (7.15)
Portanto, para fazer uma rotação (p, q)de Jacobi, usamos as fórmulas: (7.13), (7.14), (7.15), (7.12)
com j = p, q e (7.11) com i = p, q.