Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 447
A molécula computacional dá-nos uma idéia precisa da relação de dependência entre os diversos
elementos da fórmula.
Figura 13.5: Molécula computacional do método implícito.
Observe que (13.36) forma um sistema tridiagonal de equações, e ao resolvê-lo encontramos todas as
aproximações do estágio j. Escrevendo mais detalhadamente, o sistema a ser resolvido em cada estágio
é:
⎛
1 + 2σ
⎜ −σ
⎜ .
⎝ 0
−σ
1 + 2σ
. . .
0
−σ
−σ
. . .
. . .
1 + 2σ
0
0
.
−σ
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 . . . 0 −σ 1 + 2σ
ou na notação vetorial introduzida em (13.28):
U1j
U2j
.
UN−2,j
UN−1,j
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
U1,j−1
U2,j−1
.
UN−2,j−1
UN−1,j−1
⎞
⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
σU0,j
0
.
0
σUN,j
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
AUj = Uj−1 + cj , (13.37)
onde cj = (σf(jh), 0, . . . , 0, σg(jh)) T , para o caso de condições de fronteira como as de (13.14).
Podemos observar que A é uma matriz (N − 1) × (N − 1) estritamente diagonalmente dominante e
portanto o sistema (13.37) tem solução única. Além disso, a propriedade de diagonal dominância nos
garante que (13.37) pode ser resolvido por qualquer método de solução de sistemas de equações lineares,
como os métodos dados nos Capítulos 4 e 5.
Exemplo 13.2 - Calcule a primeira linha de soluções do problema do exercício (13.19)
Solução: Temos:
σ = 1
6
1 1
e k = ⇒ h =
54 3 .
Com h = 1
3 temos x0 = 0, x1 = 1
3 , x2 = 2
3 , x3 = 1 .
Com k = 1
54 temos t0 = 0, t1 = 1
54 , t2 = 2
, . . . .
54
Usando as aproximações U00, U10, U20, U30, U01 e U31, do exemplo (13.19), vamos calcular U11 e U21.
U10 = −σU01 + (1 + 2σ)U11 − σU21 ,
U20 = −σU11 + (1 + 2σ)U21 − σU31 .
(1 + 2σ) −σ
−σ (1 + 2σ)
U11 U10 + σU01
=
,
U21
U20 + σU31