Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 83
3.7.1 Determinação de Raízes Reais
Inicialmente deduziremos um algoritmo para a determinação das raízes reais de polinômios. Consideraremos
apenas polinômios contendo coeficientes reais. Em qualquer método iterativo para determinação
de uma raiz de um polinômio, teremos que calcular, frequentemente, o valor numérico do polinômio para
um determinado número real. Portanto, é importante realizar esse cálculo de uma forma tão precisa
quanto possível. Por exemplo, usando o método de Newton, temos:
xk+1 = xk −
P (xk)
P ′ (xk) .
Para medir a eficiência dos algoritmos para calcular o valor do polinômio num ponto, usemos a seguinte
notação:
• µ = tempo de processamento de uma multiplicação,
• α = tempo de processamento de uma adição,
Se P (x) é calculado pela fórmula (3.15), então devemos calcular as potências de x fazendo x k =
x × x k−1 , os quais requerem (n − 1)µ; termos da forma akx n−k , os quais requerem nµ; e a soma dos
termos, os quais requerem nα. Assim, nessa maneira de cálculo, o total é (2n − 1)µ + nα. Além disso,
quase a mesma quantidade é requerida se P ′ (x) é calculado por esse método.
Em vista da simplicidade do problema, é surpreendente que exista um algoritmo que calcula P (x), P ′ (x)
e também as derivadas de ordem superior de P (x), caso se deseje, com uma quantidade muito inferior de
tempo de processamento. Esse algoritmo, chamado de Algoritmo de Briot- Ruffini-Horner, é obtido
escrevendo a fórmula para P (x) da seguinte maneira: ( Vamos considerar n = 4, para simplicidade.)
P (x) = a4x 4 + a3x 3 + a2x 2 + a1x + a0
= (((a4x + a3)x + a2)x + a1)x + a0 .
Desse modo temos que o tempo de processamento requerido é: 4µ + 4α. Assim, de um modo geral,
para um polinômio de grau n podemos formular o algoritmo da seguinte maneira: Dados an, an−1, . . . , a0,
calcular bn, bn−1, . . . , b0, de acordo com:
bn = an , bn−k = xbn−k+1 + an−k , k = 1, 2, . . . , n . (3.16)
Portanto, b0 = P (x) = valor de P em x. Assim, ¯x é uma raiz de P (x) se e somente se, no algoritmo
de Briot-Riffini-Horner, formado com o número ¯x, resultar que b0 = 0. Observe que o tempo de
processamento requerido agora é: nµ + nα.
Vamos aplicar agora a bk o mesmo algoritmo que aplicamos a ak. Fazendo isso, obtemos números ck
de acordo com:
cn = bn , cn−k = xcn−k+1 + bn−k , k = 1, 2, . . . , n − 1 . (3.17)
Para nossa surpresa, c1 = P ′ (x), e assim o valor da derivada do polinômio em x é obtida, com tempo
de processamento igual a (n − 1)(µ + α). A prova analítica de que c1 = P ′ (x), é feita por diferenciação da
relação de recorrência dada por (3.16), lembrando que bk é função de x enquanto que os ak não. Assim,
derivando (3.16), obtemos:
b ′ n = 0 , b ′ n−k = xb ′ n−k+1 + bn−k+1 , k = 1, 2, . . . , n .
Vemos que b ′ n−1 = bn, e que as quantidades ck = b ′ k−1 são idênticas aos ck definidos por (3.17).
Portanto desde que b0 = P (x), segue que : c1 = b ′ 0 = P ′ (x).