Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 138
ii) A solução de (4.15) pode também estar afetada de erro, visto que as correções nada mais são do que a
solução de sistema linear. Assim, encontrado yj, substituimos seus valores em (4.13) e encontramos
uma melhor solução aproximada ¯x à qual poderemos novamente aplicar o processo de refinamento.
Obtemos com isso um processo iterativo, o qual deve ser aplicado até que uma precisão ɛ, pré-fixada,
seja atingida.
iii) Para sabermos se a precisão foi atingida devemos calcular o vetor resíduo. Se o mesmo for o vetor
nulo então teremos encontrado a solução exata. Se o vetor resíduo for diferente do vetor nulo então
paramos o processo quando:
onde . ∞ está definida no Capítulo 1.
r (k+1) − r (k) ∞
r (k+1) ∞
< ɛ (4.16)
iv) No cálculo dos resíduos, ou seja, no cálculo de (4.14) haverá perda de algarismos significativos, por
serem os valores de bi e n j=1 aij ¯xj aproximadamente iguais. Assim devemos calcular os resíduos
com precisão maior do que a utilizada nos demais cálculos. Logo, se estivermos trabalhando em
ponto flutuante devemos calcular os resíduos em precisão dupla.
v) O processo de refinamento é utilizado, em geral, em sistemas de grande porte, onde o acúmulo de
erros de arredondamento é maior.
O exemplo a seguir, mostra o processo de refinamento num caso hipotético, (sistema linear de ordem
2, com uma máquina que trabalha apenas com dois dígitos significativos). Novamente tal exemplo servirá
para ilustrar o que acontece com um sistema de grande porte num computador qualquer.
Exemplo 4.9 - Considere o sistema linear:
16. 5.0
3.0 2.5
x1
x2
=
21.
5.5
Trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em todas as operações;
a) resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss,
b) faça uma iteração para refinar a solução obtida em a).
Solução: Aplicando o método de Eliminação de Gauss ao sistema dado, obtemos:
16.
3.0
5.0
2.5
|
|
21.
5.5
∼
16.
0.19 |
5.0
1.6
|
|
21.
1.5
,
Observe que não calculamos o elemento a (2)
21
a(1)
, mas armazenamos nesta posição o multiplicador 21
a (1) =
11
3.0
16.
= 0.1875 = 0.19, o qual deverá ser usado no cálculo do novo termo independente. Assim, resolvendo
o sistema:
16. 5.0 x1 21.
= ,
0 1.6
1.5
obtemos:
x2 = 1.5
= 0.9375 = 0.94
1.6
x1 =
21. − 5.0 × 0.94
16.
= 21. − 4.7
x2
16.
= 16.3
16.
16.
= = 1.0
16.