Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 431
no contexto de solução numérica, sabemos da teoria matemática das equações diferenciais parciais, que
as equações parabólicas e elípticas apresentam soluções altamente regulares, enquanto as equações hiperbólicas
podem apresentar soluções singulares. Essa informação pode ser crucial no desenvolvimento
de um método numérico.
13.2 Equações Parabólicas
Nesta seção apresentamos os métodos mais conhecidos para solução de equações parabólicas. Essas
equações aparecem no modelamento de processos conhecidos como de difusão. Por exemplo, a distribuição
de temperatura em uma barra de metal cujas extremidades são mantidas a temperaturas conhecidas e
termicamente isolada ao longo do comprimento, veja figura, é descrita pela equação do calor:
ut = αuxx . (13.2)
COLOCAR FFIGURA 13.1
Supomos que a barra tem comprimento L, coincide com o eixo x e tem uma das extremidades localizada
na origem do eixo x. Portanto a temperatura u(x, t), além da equação (13.2), deve satisfazer as seguintes
condições de fronteira:
u(0, t) = Ta , u(L, t) = Tb , t ≥ 0 . (13.3)
A equação (13.2) justifica-se assumindo que a barra é feita de um material homogêneo, de forma
que a temperatura numa secção transversal ao eixo x seja constante. Podemos então considerá-la como
unidimensional e portanto a distribuição de temperatura será uma função da posição x e do tempo t. É
claro que se quisermos levar a espessura da barra em consideração basta introduzir mais uma variável e
teremos então a equação do calor em duas dimensões:
ut = α(uxx + uyy) . (13.4)
que não apresenta muito mais dificuldades de solução do que a versão unidimensional. Obviamente as
condições de fronteira devem ser modificadas para adequarem-se à geometria do problema.
Voltando ao problema unidimensional note que a distribuição de calor ao longo da barra depende
claramente de qual é a temperatura no instante inicial em que começamos nossa observação. Isto é
traduzido matematicamente em uma condição, chamada condição inicial que normalmente expressamos
da forma:
u(x, 0) = ψ(x) , 0 ≤ x ≤ L , (13.5)
onde ψ(x) é uma função conhecida.
A equação (13.2), juntamente com a condição inicial (13.5) e as condições de fronteira (13.3) formam
um problema de equações diferenciais parciais para o qual buscamos uma solução. O leitor poderá